Matematyka.pl

Muszę obliczyć
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n\left( \frac{1}{n^{2}+1} + \frac{1}{n^{2}+2} + ... + \frac{1}{n^{2}+n} \right)}\)
Domyślam się, że trzeba użyć przy tym twierdzenia o trzech ciągach.
Tylko nie wiem, jak mają wyglądać \(\displaystyle{ a_{n}}\) i \(\displaystyle{ c_{n}}\) żeby zachodziło \(\displaystyle{ a_{n} \le b_{n} \le c_{n}}\)
Zastanawiałem się nad tym:
\(\displaystyle{ a_{n} = \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{n^{2}+2} + \frac{1}{n^{2}+4} + ... + \frac{1}{n^{2}+2n} \right) }\)
\(\displaystyle{ c_{n} = \lim_{n \to \infty} n\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} \right) }\)

Veanty pisze: ↑1 lut 2023, o 14:20 Zastanawiałem się nad tym:
\(\displaystyle{ a_{n} = \red{\lim_{n \to \infty} }n \left( \frac{1}{n^{2}+2} + \frac{1}{n^{2}+4} + ... + \frac{1}{n^{2}+2n} \right) }\)
\(\displaystyle{ c_{n} = \red{\lim_{n \to \infty}} n\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} \right) }\)

No na pewno nie tak, przecież tam nie może być granic...

Ciąg \(\displaystyle{ c_n}\) to dobry pomysł. Natomiast ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest do niczego, bo i tak nie potrafisz policzyć jego granicy. Zrób podobnie, jak z oszacowaniem z góry - wybierz najmniejszy ze składników sumy i oszacuj pozostałe z dołu przez niego.

JK

Rzecz w tym, że nie do końca wiem, jak zrobić to oszacowanie z dołu. U góry przyjąłem taki tok myślenia, że im mniejsza liczba mianownika tym ułamek jest większy. Na dole więc, mianownik musi być większy od tego w \(\displaystyle{ b_{n}.}\)

Veanty pisze: ↑1 lut 2023, o 16:24 Rzecz w tym, że nie do końca wiem, jak zrobić to oszacowanie z dołu.

No przecież Ci napisałem:

Jan Kraszewski pisze: ↑1 lut 2023, o 15:02wybierz najmniejszy ze składników sumy i oszacuj pozostałe z dołu przez niego.

JK