Matematyka.pl

Witam, jestem podczas robienia jednego z zadań w podręczniku i napotkałem się na ten przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{3n+\sin(n)} }\)
Wiem, że odpowiedź to 1, miałem w głowie to, że można zamienić ten pierwiastek na potęge:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} (3n+\sin(n))^{ \frac{1}{n} } }\)
a \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{1}{n}=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} (3n+\sin(n))^0 = 1 }\)
Jednakże wątpię w to rozwiązanie, na pewno jest jakiś sposób na "rozpisanie" tego.
Z góry dziękuję za pomoc.

Ja bym zaczął do
\(3n-1\le3n+\sin n\le3n+1\)

Pozdrawiam

Veanty pisze: ↑31 sty 2023, o 13:28 Jednakże wątpię w to rozwiązanie,

I bardzo słusznie, bo to złe rozwiązanie jest. Nie można przechodzić do granicy "po kawałku".

JK

Proszę o potwierdzenie czy moja odpowiedź jest prawidłowa.
Odpowiedź w załączniku.
(Na dole powinno być jeszcze \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} }\))

Jest ok.