Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, nie rozwiązując uzasadnij.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-2y-z=2 \\ x+y-2z=6 \\ 2x+ay+z=1 \\ 3x-2y+2z=-3 \end{cases} }\)

liczba równań \(\displaystyle{ \neq}\) liczbie niewiadomych

Ja próbowałam coś z twierdzenia Capellego zrobić, ale nie wiem, jak to to rozwiązać.. bo ta macierz główna jest 4x3.

I znalazłam takie wyznaczniki:

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2& -2& -1 \\ 1& 1 &-1 \\ 2& a& 1 \end{vmatrix} }\)

----> \(\displaystyle{ a= - \frac{14}{3}}\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1& -2 \\ 2&a&1 \\ 3& -2&2 \end{vmatrix} }\)

----> \(\displaystyle{ a= - \frac{9}{8} }\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2& -2& -1 \\ 1&1& -2\\ 3& -2&2 \end{vmatrix} }\)

----> 17

A wyznacznika macierzy rozszerzonej \(\displaystyle{ (AB)= 17a-17}\), więc \(\displaystyle{ a = 1}\)

i doszłam jakby do tego, że dla \(\displaystyle{ a \in \RR \setminus - \frac{9}{8} - \frac{14}{3} }\) ---> R(A)= 3 (macierz główna)
dla \(\displaystyle{ a \in \RR \setminus \{1\} ---> R(AB) = 4 }\)(rozszerzona macierz)
czyli sprzeczność ?

Układ ma szanse mieć rozwiązanie tylko wtedy gdy wyznacznik macierzy rozszerzonej będzie mniejszy od 4.

Policzyłaś:

Klaudiuska88 pisze: ↑31 sty 2023, o 01:26 A wyznacznika macierzy rozszerzonej \(\displaystyle{ (AB)= 17a-17}\), więc \(\displaystyle{ a = 1}\)

Oznacza to, że dla każdej innej wartości parametru niż \(\displaystyle{ a=1}\) układ jest sprzeczny.
Wystarczy teraz podstawić \(\displaystyle{ a=1}\) i ponownie zbadać rzędy macierzy głównej i rozszerzonej.

Pytanie jest kiedy jest nieskończenie wiele rozwiązań. Ponieważ wyznacznik w pierwszego, drugiego i czwartego wiersza jest równy `17` odpowiedź brzmi: nigdy.