Wielokrotne różnice

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1419
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 83 razy

Wielokrotne różnice

Post autor: Jakub Gurak »

Zauważmy, że \(\displaystyle{ 0-0=0}\), a więc za \(\displaystyle{ 0}\) można podstawić \(\displaystyle{ \left( 0-0\right) }\), a za \(\displaystyle{ \left( 0-0\right)}\) można podstawić \(\displaystyle{ 0.}\) I, na przykład, chcąc wyliczyć \(\displaystyle{ 0-\left( 0-0\right)}\), to za \(\displaystyle{ (0-0)}\) podstawiamy \(\displaystyle{ 0}\), i otrzymujemy, że to jest równe: \(\displaystyle{ 0-0=0}\). I tak dalej... Nie udowadniałem tego (jako fakt oczywisty), za to udowodniłem, że jeśli rozważymy liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\), to: (możemy przyjąć, że jednokrotne odejmowanie elementu \(\displaystyle{ x}\), to jest to \(\displaystyle{ x}\)); dalej, dwukrotne odejmowanie daje: \(\displaystyle{ x-x=0}\), następnie \(\displaystyle{ x- \left( x-x\right)= x-0=x}\); i, wykazałem, że dla nieparzystej ilości takich operacji otrzymamy tą daną liczbę \(\displaystyle{ x}\), a dla parzystej ilości takich operacji otrzymamy \(\displaystyle{ 0.}\) Zauważmy, że \(\displaystyle{ 0 ^{n}= 0}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots,}\) oraz \(\displaystyle{ 1 ^{n}=1}\), dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Wczoraj przekonałem się, że dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) równość \(\displaystyle{ x ^{n}=x}\), dla każdego \(\displaystyle{ n=1,2, 3,\ldots}\) zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0,1\right\} }\).
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem. Możemy przyjąć, że jednokrotna różnica na zbiorze \(\displaystyle{ A}\), to jest to zbiór \(\displaystyle{ A}\). Dwukrotna różnica to jest to: \(\displaystyle{ A \setminus A=\emptyset.}\) Trzykrotna różnica to jest to: \(\displaystyle{ A \setminus \left( A \setminus A\right) = A \setminus \emptyset= A}\); udowodniłem dzisiaj, że po nieparzystej ilości takich operacji otrzymamy ten dany zbiór \(\displaystyle{ A}\), a po parzystej ilości takich operacji otrzymamy zbiór pusty. Podobny wynik otrzymamy robiąc podobne konstrukcje z różnicą symetryczną zbiorów (udowodniłem to dzisiaj na dwa sposoby). A wczoraj, na dobranoc, udowodniłem też, że jeśli mamy dwa niepuste zbiory mocy co najwyżej continuum, przy czym jeden z nich jest mocy continuum, to ich iloczyn kartezjański jest mocy continuum. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Niech \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)

Zdefiniujmy indukcyjnie ciąg liczbowy:

\(\displaystyle{ f_x\left( n\right)= \begin{cases} 0, \hbox{ dla } n=0 \\ x- f _{x} \left( n-1\right), \hbox{ dla } n \ge 1; \end{cases}}\)

czyli jest to ciąg: \(\displaystyle{ \left( 0, x, x-x, x- \left( x-x\right) , \ldots\right) .}\)

Wykażemy, że dla liczb parzystych \(\displaystyle{ n}\) ten ciąg przyjmie wartość \(\displaystyle{ 0}\), a dla nieparzystych numerów przyjmie wartość \(\displaystyle{ x.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

(Stosujemy zasadę indukcji dla liczb parzystych- patrz książkę : Heleny Rasiowej "Wstęp do matematyki współczesnej", wydanie piąte, str. 38 zad. 1 ", (tam jest mała różnica, bo nie uznają \(\displaystyle{ 0}\) za liczbę naturalnę, ja uznaję) ).

Niewątpliwie, z definicji: \(\displaystyle{ f_x\left( 0\right)=0.}\)

Kro k indukcyjny:
dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) jeśli \(\displaystyle{ f_x\left( 2n\right) = 0}\), to \(\displaystyle{ f_x\left( 2n+1\right) = x- f_x\left( 2n\right) = x-0=x,}\)

gdzie pierwsze przejście wynika z definicji, a następne z założenia indukcyjnego.

Dalej:

\(\displaystyle{ f_x\left( 2n+2\right) = x- f_x\left( 2n+1\right) = x-x=0.}\)

Krok indukcyjny został dowiedziony. Zasada indukcji dla liczb parzystych dowodzi, że \(\displaystyle{ f_x\left( m\right)=0}\), dla każdej liczby parzystej \(\displaystyle{ m.}\)\(\displaystyle{ }\)

Dla liczb nieparzystych \(\displaystyle{ m=2n+1}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), wtedy \(\displaystyle{ m \ge 1}\), wtedy, z definicji tej funkcji:

\(\displaystyle{ f_x\left( m\right) = x- f_x\left( m-1\right) = x- f_x\left( 2n\right) = x-0=x.}\)

A zatem \(\displaystyle{ f_x\left( m\right) = x}\), dla każdej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ m.\square}\)


Przejdźmy do następnego problemu:

Zauważmy, że \(\displaystyle{ 0 ^{n}=0}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots;}\) oraz \(\displaystyle{ 1 ^{n}=1}\), dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\)- łatwo można to indukcyjnie udowodnić.
Pytamy, czy dla innych liczb \(\displaystyle{ x \in \RR}\) może zachodzić \(\displaystyle{ x ^{n}=x}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots .}\)

Pokażemy, że nie ma innych liczb o tej własności.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Przypuśćmy, że dla \(\displaystyle{ x \neq 0,1}\) mamy \(\displaystyle{ x ^{n}= x}\), dla dowolnego \(\displaystyle{ n=1,2,3, \ldots .}\)

A zatem, w szczególności \(\displaystyle{ x ^{2}=x}\)( geometrycznie widzimy już sprzeczność, bo prosta \(\displaystyle{ y=x}\) przecina parabolę \(\displaystyle{ y=x^2}\), tylko w punktach \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\)), nie mniej, nie zastępuje to dowodu.

Jeśli \(\displaystyle{ x<0}\), to \(\displaystyle{ x ^{2}= x \cdot x> 0 \cdot x=0>x}\), a zatem \(\displaystyle{ x ^{2}>x}\)- sprzeczność.
Jeśli \(\displaystyle{ 1>x>0}\), to ponieważ \(\displaystyle{ x<1}\), to \(\displaystyle{ x ^{2}= x \cdot x<1 \cdot x=x}\), czyli \(\displaystyle{ x ^{2}<x}\)- sprzeczność.
Jeśli \(\displaystyle{ x>1}\), to również \(\displaystyle{ x>0}\), a zatem \(\displaystyle{ x ^{2}=x \cdot x>1 \cdot x=x}\)- sprzeczność.

Wobec czego \(\displaystyle{ x ^{2}= x,}\) tylko dla \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0,1\right\}}\), i \(\displaystyle{ x ^{n}= x}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \ldots}\), tylko dla \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0,1\right\}.}\)


Przejdźmy do następnego zadania:

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem.
Rozważmy ciąg zbiorów, zdefiniowany indukcyjnie:

\(\displaystyle{ f_A\left( n\right) = \begin{cases} \emptyset, \hbox{ dla } n=0; \\ A \setminus f _{A} \left( n-1\right), \hbox{ dla } n \ge 1. \end{cases} }\)

Czyli jest to ciąg: \(\displaystyle{ \left( \emptyset, A, A \setminus A, A \setminus \left( A \setminus A\right), \ldots\right). }\)

Wykażemy, że \(\displaystyle{ f_A\left( m\right) = \emptyset}\), dla liczb parzystych \(\displaystyle{ m}\); i \(\displaystyle{ f_A\left( m\right) = A}\), dla nieparzystych liczb \(\displaystyle{ m}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Zrobimy jeszcze podobną konstrukcję dla różnicy symetrycznej:

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem.
Rozważmy ciąg zbiorów zdefiniowany indukcyjnie:

\(\displaystyle{ f_A\left( n\right) = \begin{cases} \emptyset, \hbox{ dla } n=0; \\ A\oplus f_A \left( n-1\right), \hbox{ dla } n \ge 1. \end{cases} }\)

Czyli jest to ciąg: \(\displaystyle{ \left( \emptyset, A, A\oplus A, A\oplus \left( A\oplus A\right), \ldots\right). }\)

Wykażemy, że dla liczb naturalnych parzystych ten ciąg jest stale równy zbiorowi pustemu, a dla liczb nieparzystych jest stale równy temu danemu zbiorowi \(\displaystyle{ A}\). Udowodnimy to na dwa sposoby:
PIERWSZY DOWÓD TEGO FAKTU::    
DRUGI DOWÓD TEGO FAKTU::    
Wykażemy jeszcze, że jeśli mamy skończony ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ f_1, f_2,\ldots, f_n}\), to:

\(\displaystyle{ f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n=0 \Leftrightarrow f_1=0 \vee f_2=0 \vee \ldots \vee f_n=0.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Dowód jest indukcyjny:

Dla \(\displaystyle{ n=1}\), mamy:

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{1} f_i=f_1= 0 \Leftrightarrow f_1=0.}\)

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy: \(\displaystyle{ f_1 \cdot f_2=0 \Leftrightarrow f_1= 0 \hbox{ lub } f_2=0}\)- jest to znana własność.

Krok indukcyjny:
Przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla \(\displaystyle{ n.}\)
Rozpoczynamy z dowolnym układem \(\displaystyle{ f_1,f_2,\ldots, f_n, f _{n+1} \in \RR.}\)

Mamy wtedy, na mocy łączności mnożenia liczb rzeczywistych :

\(\displaystyle{ 0= f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n \cdot f _{n+1} \Longleftrightarrow \left( f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n\right) \cdot f _{n+1}=0 \Longleftrightarrow \left( f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n\right) =0 \hbox{ lub } f _{n+1}=0 \Longleftrightarrow, }\)

co jest równoważne, na mocy założenia indukcyjnego, więc to znaczy, że:

\(\displaystyle{ \Longleftrightarrow \left( f_1=0 \hbox{ lub } f_2=0\hbox{ lub } \ldots \hbox{ lub } f_n=0 \right) \hbox{ lub } f _{n+1}=0 \Longleftrightarrow f_1=0 \vee f_2=0 \vee \ldots \vee f _{n+1}=0.\square}\)


Na koniec podam dwa proste fakty:

Rozważmy dwa niepuste zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y,}\) mocy co najwyżej continuum, przy czym co najmniej jeden z nich jest mocy continuum. Wykażemy, że iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ X \times Y}\) jest mocy continuum.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest mocy nie większej niż continuum, więc zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest równoliczny z pewnym podzbiorem \(\displaystyle{ A}\) zbioru liczb rzeczywistych.
Podobnie zbiór \(\displaystyle{ Y\sim B}\), gdzie \(\displaystyle{ B \subset \RR}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ X \times Y\sim A \times B \subset \RR \times \RR\sim \RR}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| X \times Y\right| \le \left| \RR \times \RR\right| =\left| \RR\right| .}\)

Wiemy, że jeden ze zbiorów \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jest mocy continuum, więc jeśli \(\displaystyle{ X\sim \RR}\), to niech \(\displaystyle{ y \in Y \neq \left\{ \right\} }\). Wtedy:

\(\displaystyle{ \RR\sim X\sim X \times \underbrace{ \left\{ y\right\} }_{ \subset Y} \subset X \times Y,}\) a zatem \(\displaystyle{ \left| X \times Y\right| \ge \left| \RR \right| .}\)
Jeśli \(\displaystyle{ Y\sim \RR}\), to pokażemy, że również \(\displaystyle{ \left| X \times Y\right| \ge \left| \RR\right|.}\)
Niech \(\displaystyle{ x \in X \neq \left\{ \right\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \times Y\sim Y \sim \RR.}\) Mamy \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \subset X}\), a zatem: \(\displaystyle{ X \times Y\supset \left\{ x\right\} \times Y \sim \RR}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| X \times Y\right| \ge \RR,}\)
i, na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina, iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ X \times Y }\) jest mocy continuum. \(\displaystyle{ \square}\)

Wykażemy podobny fakt, dla zbiorów co najwyżej przeliczalnych; tzn.:

Jeśli mamy dwa niepuste zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y }\)co najwyżej przeliczalne, przy czym co najmniej jeden z nich jest nieskończony, to wykażemy, że \(\displaystyle{ X \times Y\sim \NN}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::    
8-)
ODPOWIEDZ