Równanie różniczkowe liniowe rzędu 1
: 30 sty 2023, o 22:58
Cześć!
Rozważmy taką funkcję
\(\displaystyle{ h(x)=\sum_n^\infty \frac{P_n(x)}{n!}t^n}\).
Użyjemy warunku, że \(\displaystyle{ P'_n(x)=nP_{n−1}(x)}\), czyli otrzymujemy \(\displaystyle{ h(x)=\sum_n^\infty \frac{P_{n+1}'(x)}{(n+1)!}\frac{t^n}{n!}}\).
I tutaj wydaje mi się, że powinienem pójść w innym kierunku, to znaczy \(\displaystyle{ h'(x)=\sum_n^\infty \frac{P'_n(x)}{n!}t^n}\) i teraz skorzystać z warunku. Mamy zatem \(\displaystyle{ h'(x)=\sum_n^\infty \frac{P'_n(x)}{n!}t^n=\sum_n^\infty \frac{nP_{n-1}(x)}{n!}t^n }\). Próbuje dojść do równania różniczkowego rzędu 1 gdzie rozwiązaniem bedzię \(\displaystyle{ A(t)e^{xt}}\), gdzie \(\displaystyle{ A(t)}\) to \(\displaystyle{ A(t)=\sum_n^\infty \frac{\mathcal{P}_n}{n!}t^n,\ (\mathcal{P}_n:=P_n(0))}\) funkcja generująca.
Rozważmy taką funkcję
\(\displaystyle{ h(x)=\sum_n^\infty \frac{P_n(x)}{n!}t^n}\).
Użyjemy warunku, że \(\displaystyle{ P'_n(x)=nP_{n−1}(x)}\), czyli otrzymujemy \(\displaystyle{ h(x)=\sum_n^\infty \frac{P_{n+1}'(x)}{(n+1)!}\frac{t^n}{n!}}\).
I tutaj wydaje mi się, że powinienem pójść w innym kierunku, to znaczy \(\displaystyle{ h'(x)=\sum_n^\infty \frac{P'_n(x)}{n!}t^n}\) i teraz skorzystać z warunku. Mamy zatem \(\displaystyle{ h'(x)=\sum_n^\infty \frac{P'_n(x)}{n!}t^n=\sum_n^\infty \frac{nP_{n-1}(x)}{n!}t^n }\). Próbuje dojść do równania różniczkowego rzędu 1 gdzie rozwiązaniem bedzię \(\displaystyle{ A(t)e^{xt}}\), gdzie \(\displaystyle{ A(t)}\) to \(\displaystyle{ A(t)=\sum_n^\infty \frac{\mathcal{P}_n}{n!}t^n,\ (\mathcal{P}_n:=P_n(0))}\) funkcja generująca.