Oblicz granice z definicji Cauchy'go
: 29 sty 2023, o 14:15
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{(e ^{2x} -1)}{x}}\)
Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki
https://matematyka.pl/
Potrafię zrobić tę zadanie korzystając ze wzorów i przekształceń, lecz niestety muszę je wykonać korzystając z definicji Cauchy'ego (ew. Heinego)3a174ad9764fefcb pisze: ↑29 sty 2023, o 14:24 \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{(e ^{2x} -1)}{x}=2\cdot \lim_{x\to 0}\frac{(e ^{2x} -1)}{2x}=\ldots}\)
Dowód korzystający z definicji Cauchy'ego przebiega zwykle według szablonu:daniel002909f pisze: ↑29 sty 2023, o 14:36 lecz niestety muszę je wykonać korzystając z definicji Cauchy'ego (ew. Heinego)
Niech \(\displaystyle{ H \subset \RR}\) będzie przedziałem zawierającym pewien ustalony punkt \(\displaystyle{ h_0\in H}\), niech \(\displaystyle{ I \subset\RR }\) będzie przedziałem (skończonym lub nie) oraz \(\displaystyle{ F:I\times H\to \RR}\) funkcją taką, że
- \(\displaystyle{ (\forall h\in H)\left[ I\ni x\mapsto F(x,h)\in\RR\right]-\text{jest ciągła}}\),
- \(\displaystyle{ f=\big[ I\ni x\mapsto \lim_{ h \to h_0} F(x,h)\in\RR\big]-\text{jest ciągła}}\),
- istnieje funkcja \(\displaystyle{ g\in L_1(I)}\) taka, że \(\displaystyle{ (\forall h\in H)(\forall x \in I)|F(x,h)| \le g(x)}\).
Wtedy\(\displaystyle{ \lim_{ h \to h_0} \int_{I}^{} F(x,h)\,\dd x= \int_{I}^{} f(x)\,\dd x. }\)
Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = y'(0) = y(0) = 1}\), QED.Janusz Tracz pisze: ↑30 sty 2023, o 00:08Funkcję
\(\displaystyle{ \RR\ni x\mapsto e^x \in \RR}\)
możemy zdefiniować jako jedyne rozwiązanie problemu początkowego \(\displaystyle{ y'=y}\), \(\displaystyle{ y(0)=1}\).
@a4karo & @Dasio11 No tak, choć na tym polegał dowcip, a i tak kusiło mnie aby tu wcisnąć twierdzenie Ascoli-Arzeli i coś kombinować z jednostajną równo ciągłością i całkowalnością. Ale robiło się późno więc dałem sobie spokój. Na forum nie widziałem takiego zastosowania twierdzenia o zbieżności ograniczonej (w ciągłej wersji) więc pomyślałem, że może warto aby gdzieś się pojawiło nawet jeśli niekoniecznie jest to optymalne rozwiązanie.