Matematyka.pl

Jednorodny, cienki pręt o masie \(\displaystyle{ m}\) i długości \(\displaystyle{ l}\) zawieszono poziomo na dwóch niciach. W pewnej chwili nić B przecięto. Jaka siła wystąpi w tym momencie w nici A?

Rysunek zawieszonego pręta z zaznaczonym rozkładem sił reakcji nici \(\displaystyle{ \vec{R} }\) i siły ciężkości \(\displaystyle{ \vec{F} }\)- przed przecięciem nici w punkcie \(\displaystyle{ B. }\)

Równanie bilansu sił:

\(\displaystyle{ m\cdot g = 2R. }\)

Po chwili przecięcia nici w punkcie \(\displaystyle{ B}\)

Wartość momentu obrotowego opadającego pręta

\(\displaystyle{ M = \frac{m\cdot g\cdot l}{2}. }\)

Wartość przyśpieszenia kątowego \(\displaystyle{ \varepsilon }\)

\(\displaystyle{ \frac{I \cdot \varepsilon}{2} = \frac{m\cdot g \cdot l}{2} \ \ (*) }\)

Moment bezwładności jednorodnego pręta

\(\displaystyle{ I = \frac{1}{3}m\cdot l^2.}\)

Z \(\displaystyle{ (*) }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}m\cdot l^2\cdot \varepsilon = \frac{m\cdot g \cdot l}{2}}\)


\(\displaystyle{ \varepsilon = \frac{3 g}{2l} \ \ \frac{rad}{s^2}. }\)

Wartość przyśpieszenia liniowego z jakim opada środek masy pręta

\(\displaystyle{ a = \frac{l\cdot \varepsilon}{2} = \frac{3g}{4}. }\)

Wartość siły, która wystąpi w tym momencie w nici \(\displaystyle{ A }\)

\(\displaystyle{ m\cdot a = m\cdot \frac{3g}{4} = m\cdot g - R, }\)

\(\displaystyle{ R = m \cdot g - m\cdot \frac{3g}{4} = \frac{1}{4} m\cdot g.}\)

Cześć! W momencie przecięcia nici B pręt zacznie się obracać wokół nici A pod wpływem własnego ciężaru, więc siła w nici A będzie nie tylko podtrzymywać ciężar pręta, ale też musiała dostarczyć moment siły, żeby zatrzymać obrót – czyli będzie większa niż połowa ciężaru. Dokładnie można to policzyć, stosując równania ruchu obrotowego i momenty sił względem punktu zawieszenia A. Tak więc siła w nici A to suma siły statycznej plus siła wynikająca z dynamicznego obrotu pręta.