Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a, \ a \in \mathbb{R}}\), różne rozwiązania \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) równania \(\displaystyle{ x^2-(2a+1)x+a^2+2=0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x_1=2x_2}\)?

Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=2x_2 \\ x_1+x_2=2a+1 \end{cases}}\)
Stąd wyznaczam \(\displaystyle{ x_2=\dfrac{2a+1}{3}}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ x_2}\) do wyjściowego równania i dostaję \(\displaystyle{ \left( \dfrac{2a+1}{3}\right) ^2-(2a+1)\cdot \dfrac{2a+1}{3}+a^2+2=0}\),
skąd \(\displaystyle{ a=4}\). Dla \(\displaystyle{ a=4}\) wyróżnik jest dodatni, więc równanie ma dwa rozwiązania.

Wynik się zgadza, ale zastanawiam się, czy to jest poprawna metoda? Czy nie powinnam jeszcze np. wyznaczyć z układu równań \(\displaystyle{ x_1}\) i podstawić do wyjściowego równania i sprawdzić, czy też wyjdzie \(\displaystyle{ a=4}\)?

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > 0 \\ x_{1} = 2 x_{2} \end{cases} }\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} 4a -7 >0 \\ 2a+1 + \sqrt{4a -7} = 2 (2a+1 -\sqrt{4a -7}) \end{cases}}\)

Potrafię zrobić innym sposobem, chodzi mi o to, czy moje rozwiązanie jest poprawne.

Pokazała, że jeżeli są dwa rozwiązania spełniające warunki zadania, to `a=3`. Teraz pozostaje sprawdzić, że rzeczywiście ta wartość spełnia warunki, albo pokazać, że przekształcenia które robisz są równoważne. To pierwsze jest zdecydowanie prostsze.

Twoja metoda jest ok. Nie musisz wstawiać \(\displaystyle{ x_1}\) do równania. Warunki \(\displaystyle{ x_1=2x_2}\) oraz \(\displaystyle{ x_1+x_2=2a+1}\) są co prawda warunkami koniecznymi (pierwszy jest konieczny z treści zadania, a drugi z Viete'a). Dostając jednak jedno \(\displaystyle{ a}\) wystarczy, że sprawdzisz, iż to \(\displaystyle{ a}\) jest dobre. Aby jednak uczynić układ warunków równoważny z warunkami narzuconymi na równania kwadratowe możesz dopisać drugi wzór Viete'a (i warunek na deltę bo Viete'a działa dla zespolonych też) i wtedy się nie przejmujesz czy nie gubi (lub nie generuje) się tu jakaś błędnych rozwiązań. Ogólnie jednak takie podejście może wygenerować jedynie więcej \(\displaystyle{ a}\), a nie mniej. Więc nie musisz martwić się, że zgubisz rozwiązania. Problemem jest pojawienie się fałszywych \(\displaystyle{ a}\). Ale skoro \(\displaystyle{ a=4}\) zostało sprawdzone to nie jest fałszywe.

Wprowadza Pani dodatkowe równanie na sumę pierwiastków.

Rozwiązuje układ równań ze względu na pierwiastek \(\displaystyle{ x_{2} }\) w zależności od pierwiastka \(\displaystyle{ x_{1}. }\)

Potem podstawia do równania kwadratowego i oblicza wartość parametru \(\displaystyle{ a.}\)

A na końcu sprawdza dla wartości parametru \(\displaystyle{ a= 4 }\) znak wyróżnika - istnienia dwóch różnych pierwiastków równania kwadratowego.

Nie wpadłbym na taki pomysł rozwiązania. Rozwiązanie trudno nie uznać za dobre aczkolwiek jest sztuczne.

W przedstawionej propozycji rozwiązania mamy dwa warunki wynikające wprost z treści zadania.

Rozwiązując, otrzymujemy \(\displaystyle{ a> \frac{7}{4} \wedge (a-4)^2 = 0. }\)

Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ a= 4 }\) , że równanie \(\displaystyle{ x^2 -9x + 18 = 0 }\) ma dwa różne pierwiastki, z których jeden jest dwa razy większy od drugiego.