Potęgowanie liczb o dużym wykładniku - podzielności

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
dra_gon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 22 paź 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Potęgowanie liczb o dużym wykładniku - podzielności

Post autor: dra_gon » 22 paź 2007, o 20:17

Witam
Prosiłabym kogoś o jak najszybsze rozwiązanie mi tego zadania z jednoczesnym udowodnieniem go ...

Które z podanych niżej ułamków przedstawiają liczby naturalne:
1) \(\displaystyle{ \frac{10^{354}+8}{9}}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{10^{101}+9}{9}}\)
3) \(\displaystyle{ \frac{10^{454}-1}{9}}\)
4) \(\displaystyle{ \frac{10^{111}+5}{6}}\)
5) \(\displaystyle{ \frac{10^{321}+2}{6}}\)
6) \(\displaystyle{ \frac{10^{123}-4}{6}}\)
7) \(\displaystyle{ \frac{6^{123}+44}{10}}\)
8) \(\displaystyle{ \frac{9^{140}-1}{10}}\)
Ostatnio zmieniony 22 paź 2007, o 20:26 przez dra_gon, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

Potęgowanie liczb o dużym wykładniku - podzielności

Post autor: Lady Tilly » 22 paź 2007, o 20:20

Zmień temat, bo.... post wyląduje w koszu.

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

Potęgowanie liczb o dużym wykładniku - podzielności

Post autor: g-dreamer » 22 paź 2007, o 20:41

\(\displaystyle{ 10^{354}+8\equiv_9 0\\
10^{354}\equiv_9 1\\
10^2\equiv_9 1\\
10^{32}\equiv_9 1\ itd.\\
354=256+64+32+2\\

10^{354}\equiv_9 1\\}\)

Czyli nie dzieli się przez 9.

dra_gon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 22 paź 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Potęgowanie liczb o dużym wykładniku - podzielności

Post autor: dra_gon » 23 paź 2007, o 06:50

A można to nieco łątwiej i bardziej zrozumiale napisać o co tutaj chodzi?

Będę Wdzięczna:)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Potęgowanie liczb o dużym wykładniku - podzielności

Post autor: Piotr Rutkowski » 23 paź 2007, o 10:26

gdreamer, sprawdź swoje wnioski, pierwsze wyrażenie dzieli sie przez 9
gdreamer użył kongruencji
żeby to łatwiej wyjasnić:
wyobraź sobie zapis pierwszej liczby, będzie to \(\displaystyle{ 1000...00008}\) suma cyfr jest równa 9, a więc całe wyrażenie jest podzielne przez 9 Podobne rozważania (nawet bez użycia kongruencji) poprzeprowadzaj sobie dla pozostałych przykładów:
Odpowiedzi:
1) 3) 5) 6) 7) 8)

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

Potęgowanie liczb o dużym wykładniku - podzielności

Post autor: g-dreamer » 23 paź 2007, o 17:49

Haha, dobre:
\(\displaystyle{ 10^{354} \equiv_9 1\\
10^{354}+8\equiv_9 9\equiv_9 0}\)

Dzięki.

ODPOWIEDZ