Matematyka.pl

Dzień dobry,
dlaczego grupa \(\displaystyle{ \left\langle \mathbb{Z},*\right\rangle }\), gdzie działanie \(\displaystyle{ *}\) jest określone wzorem:
\(\displaystyle{ a*b = \begin{cases} a+b&\textrm{dla }a\text{ parzystych} \\ a-b&\textrm{dla }a\text{ nieparzystych} \end{cases} }\)
nie jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ \left\langle \mathbb{Z}, +\right\rangle }\)?

Mam twierdzenie, które mówi, że podzbiór \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy sam jest grupą względem działania z \(\displaystyle{ G}\) zawężonego do \(\displaystyle{ H}\). W tym przykładzie niczego nie trzeba zawężać, bo mamy podzbiór niewłaściwy.

Jedyne co mi przychodzi do głowy, to że elementy odwrotne z \(\displaystyle{ \left\langle \mathbb{Z},*\right\rangle }\) muszą przechodzić na \(\displaystyle{ \left\langle \mathbb{Z},+\right\rangle}\). Wtedy rzeczywiście, elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ 3}\) w grupie \(\displaystyle{ \left\langle \mathbb{Z},*\right\rangle }\) jest \(\displaystyle{ 3}\), a w grupie \(\displaystyle{ \left\langle \mathbb{Z},+\right\rangle }\) jest \(\displaystyle{ -3}\). Czy o to chodzi?

nie jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ (Z,+)}\)

gdyż nie jest abelowa.

To twierdzenie nie ma tu zastosowania, bo mówimy o różnych działaniach.

A poza tym to w ogóle nie jest grupa (sprawdź aksjomaty)

imho \(\displaystyle{ * \neq +\upharpoonright_{\ZZ \times \ZZ}}\).

A poza tym to w ogóle nie jest grupa (sprawdź aksjomaty)

A czemu to nie jest grupa?

a4karo pisze: 20 sty 2023, o 11:24 To twierdzenie nie ma tu zastosowania, bo mówimy o różnych działaniach.

A poza tym to w ogóle nie jest grupa (sprawdź aksjomaty)

Jest jakieś twierdzenie, które ma tutaj zastosowanie?

Dodano po 24 sekundach:
Tutaj dowód, że jest to grupa z podręcznika J.Rutkowskiego Dodano po 38 minutach 23 sekundach:

Janusz Tracz pisze: 20 sty 2023, o 11:26 imho \(\displaystyle{ * \neq +\upharpoonright_{\ZZ \times \ZZ}}\).

ok, czyli w przypadku różnych działań pojęcie podgrupy nie ma sensu?
Na wykładzie miałam następująca definicję podgrupy:
Niech \(\displaystyle{ <G, *>}\) będzie grupą i niech \(\displaystyle{ H \subseteq G}\). H jest podgrupą, jeśli:
\(\displaystyle{ 1. e\in H\qquad\textrm{, gdzie e to element neutralny }}\)
\(\displaystyle{ 2. \forall{a\in H}\qquad a^{-1}\in H}\)
\(\displaystyle{ 3. \forall{a,b\in H}\qquad a*b\in H}\)
Czy na jej podstawie da się to wyjaśnić?

iksnb1 pisze: 20 sty 2023, o 12:42

Janusz Tracz pisze: 20 sty 2023, o 11:26 imho \(\displaystyle{ * \neq +\upharpoonright_{\ZZ \times \ZZ}}\).

ok, czyli w przypadku różnych działań pojęcie podgrupy nie ma sensu?

Tak. Na podgrupie działanie jest określona jako obcięcie działania z grupy. W pewnym sensie na podgrupie nie definiuje się nowego działania, jedynie przycina się już dane działanie z grupy.

iksnb1 pisze: 20 sty 2023, o 12:42 Na wykładzie miałam następująca definicję podgrupy:
Niech \(\displaystyle{ <G, *>}\) będzie grupą i niech \(\displaystyle{ H \subseteq G}\). H jest podgrupą, jeśli:
\(\displaystyle{ 1. e\in H\qquad\textrm{, gdzie e to element neutralny }}\)
\(\displaystyle{ 2. \forall{a\in H}\qquad a^{-1}\in H}\)
\(\displaystyle{ 3. \forall{a,b\in H}\qquad a*b\in H}\)
Czy na jej podstawie da się to wyjaśnić?

No tak. Da się. Każdy z tych podpunktów odnosi się do działania \(\displaystyle{ *}\), a formalnie do \(\displaystyle{ *\upharpoonright_{H \times H}}\).

Także \(\displaystyle{ (2\ZZ,*)}\) jako podgrupa \(\displaystyle{ (\ZZ,*)}\) jest tożsama z \(\displaystyle{ (2\ZZ,+)}\) i jest podgrupą \(\displaystyle{ (\ZZ,+)}\) .

Janusz Tracz pisze: 20 sty 2023, o 13:02

iksnb1 pisze: 20 sty 2023, o 12:42

Janusz Tracz pisze: 20 sty 2023, o 11:26 imho \(\displaystyle{ * \neq +\upharpoonright_{\ZZ \times \ZZ}}\).

ok, czyli w przypadku różnych działań pojęcie podgrupy nie ma sensu?

Tak. Na podgrupie działanie jest określona jako obcięcie działania z grupy. W pewnym sensie na podgrupie nie definiuje się nowego działania, jedynie przycina się już dane działanie z grupy.

iksnb1 pisze: 20 sty 2023, o 12:42 Na wykładzie miałam następująca definicję podgrupy:
Niech \(\displaystyle{ <G, *>}\) będzie grupą i niech \(\displaystyle{ H \subseteq G}\). H jest podgrupą, jeśli:
\(\displaystyle{ 1. e\in H\qquad\textrm{, gdzie e to element neutralny }}\)
\(\displaystyle{ 2. \forall{a\in H}\qquad a^{-1}\in H}\)
\(\displaystyle{ 3. \forall{a,b\in H}\qquad a*b\in H}\)
Czy na jej podstawie da się to wyjaśnić?

No tak. Da się. Każdy z tych podpunktów odnosi się do działania \(\displaystyle{ *}\), a formalnie do \(\displaystyle{ *\upharpoonright_{H \times H}}\).

I see. Czyli wracając do mojego zadania, grupa \(\displaystyle{ <\mathbb{Z}, *>}\) nie jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ <\mathbb{Z}, +>}\), bo nie jest spełniony warunek 3. z def. bo np. wyrażenie \(\displaystyle{ 3+1}\) nie ma jakby swojego odpowiednika w \(\displaystyle{ <\mathbb{Z}, *>}\)?

To są dwie różne grupy określone na tym sam zbiorze...

mol_ksiazkowy pisze: 20 sty 2023, o 13:30 Także \(\displaystyle{ (2Z,*)}\) jako podgrupa \(\displaystyle{ (Z,*)}\) jest tożsama z \(\displaystyle{ (2Z,+)}\) i jest podgrupą \(\displaystyle{ (Z,+)}\) .

gdyż działanie * obcięte do zbioru \(\displaystyle{ 2\mathbb{Z}\times2\mathbb{Z}}\) jest w sumie zwykłym dodawaniem?

zwykłym dodawaniem?

No właśnie, zwykłym dodawaniem czyli takim jak w \(\displaystyle{ (\ZZ,+)}\).