Strona 1 z 1
Max warunkowe
: 15 sty 2023, o 22:44
autor: mol_ksiazkowy
Wyznaczyć maksimum wyrażenia \(\displaystyle{ 2x+y,}\) jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2 > 4 \\ x^2+y^2 \leq 2x+2y. \end{cases}}\)
Re: Max warunkowe
: 16 sty 2023, o 15:28
autor: a4karo
Wyrażenie `2x+y` jest stałe wzdłuż prostych o współczynniki kierunkowym `-2`.
W pierwszej ćwiartce układu koło `(x-1)^2+(y-1)^2\le 2` "wystaje" w prawo i do góry poza okrąg `x^2+y^2=2`.
Stąd wniosek, że największa wartość `2x+y` będzie osiągnieta na prostej, która jest styczna do koła w pierwszej ćwiartce.
Punkt styczności tej prostej jest punktem przecięcia okręgu `(x-1)^2+(y-1)^2= 2` i prostej
\(\displaystyle{ y-1=\frac{x-1}2`}\),
co daje
\(\displaystyle{ x_0=1+\frac{2\sqrt2}{\sqrt5}\text{ oraz } y_0=1+\frac{\sqrt2}{\sqrt5}.}\)
Zatem maksymalna wartość to `3+\sqrt{10}`.