Matematyka.pl

Mam pytanie odnośnie tego, kiedy można skorzystać z niezależności drogi:
Jeśli funkcja jest ciągła na konturze \(\displaystyle{ g}\) od \(\displaystyle{ z_1}\) do \(\displaystyle{ z_2}\), i ma funkcję pierwotną, to całka z tej funkcji jest równa różnicy funkcji pierwotnych od punktu \(\displaystyle{ z_2}\) i od \(\displaystyle{ z_1}\).

Co z funkcjami, które mają bieguny, jak \(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} }\)? Pierwsza myśl była taka, że trzeba ją parametryzować. Ale jest ta wzmianka o konturze i tego nie rozumiem. Jeśli biegun jest daleko od drogi całkowania i od tych punktów, i nie leży na prostej czy łuku po którym się całkuję, to można mimo wszystko skorzystać z tego twierdzenia? Czym jest ten kontur?

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} = 1 + z + z^2 + z^3\ \ ... \ \ + \ \ ... }\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{z} \frac{1}{1-z} dz = z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \frac{z^4}{4} + \ \ ... }\)

Pytanie dotyczyło zupełnie czego innego

PS: Można przenieść temat do działu "Funkcje analityczne i analiza zespolona"? Pytanie jest o bieguny, więc może tam bardziej podpasuje

Nie rozumiem pytań, ale uściślę twierdzenie:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ D \subseteq \CC}\) jest obszarem i \(\displaystyle{ f : D \to \CC}\) ma funkcję pierwotną \(\displaystyle{ F : D \to \CC}\). Niech \(\displaystyle{ \Gamma}\) będzie krzywą gładką zawartą w \(\displaystyle{ D}\) idącą od punktu \(\displaystyle{ z_1}\) do punktu \(\displaystyle{ z_2}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \int \limits_{\Gamma} f(z) \, \dd z = F(z_2) - F(z_1)}\).

Czy teraz wszystko jasne?

Po prostu zastanawiam się, kiedy nie można skorzystać z tego ułatwiającego życie twierdzenia do obliczania całek krzywoliniowych.
Np. jeśli funkcją podcałkową jest: \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1} }\)

1. czy dobrze rozumiem, że mogę użyć tego twierdzenia, gdy droga po której całkuję nie przecina punktu \(\displaystyle{ z=1}\)?
2. dodatkowe pytanie: a co, jeśli moim punktem \(\displaystyle{ z_{2} }\) jest punkt \(\displaystyle{ z=1}\)?
3. jeśli drogą jest linia łamana, łącząca kolejno 3 punkty i w żadnym miejscu nie przecina \(\displaystyle{ z=1}\), to czy mogę potraktować to jako sumę 2 całek niezależnych od drogi?

Wyobraź sobie dwie drogi łączące `z_1` i `z_2` i omijające punkt `z=1` z różnych stron. Czy całki po tych drogach mogą być równe?

Całka jest niezależna od drogi jeżeli droga jest w poddziedzinie gdzie funkcja jest holomorficzna.