\(\displaystyle{ \ZZ[ \sqrt{-5}]|_{(a)}}\) jest izomorficzny z pierścieniem \(\displaystyle{ \ZZ}\)
Więc nie jest ciałem a więc nasz ideał \(\displaystyle{ (a)}\) nie jest maksymalny, trzeba pomnożyć przez ideał \(\displaystyle{ (b)}\)
ten ideał może mieć postać typu np.:
\(\displaystyle{ 2x+y \sqrt{-5} }\)
Dodano po 20 minutach 7 sekundach:
Wyszło mi, że ideał postaci:
\(\displaystyle{ (ab)}\)
ma postać:
\(\displaystyle{ P+ \sqrt{-5} P}\)
Lub:
\(\displaystyle{ N+ \sqrt{-5} N}\)
Czyli parzysta, parzysta lub nieparzysta nieparzysta...
Co sugeruje, że dowolny element pierścienia: \(\displaystyle{ \ZZ[ \sqrt{-5}] }\)
Można zapisać jako:
\(\displaystyle{ x+u, u \in (ab)}\)
Gdzie: \(\displaystyle{ x=0 \vee 1}\)
Co sugeruje, że:
\(\displaystyle{ \ZZ[ \sqrt{-5} ]_{|(ab)}}\) można utożsamić z ciałem: \(\displaystyle{ Z_{2}=\left\{ 0,1\right\} }\)
Co by sugerowało, że pierścień \(\displaystyle{ (ab)}\) jest maksymalny...
Re: Iloczyn ideałów
: 11 sty 2023, o 09:43
autor: mol_ksiazkowy
czyli jakie jest \(\displaystyle{ b }\) ?
Re: Iloczyn ideałów
: 11 sty 2023, o 10:49
autor: arek1357
Postaci:
\(\displaystyle{ 2x+y \sqrt{-5} ,x, y \in \ZZ}\)
Re: Iloczyn ideałów
: 11 sty 2023, o 12:25
autor: Slup
arek1357 rozwiązywał to zadanie za pomocą przedsoborowych, katolickich zasad, a więc tak, jak rozwiązywałby je Pius X.
uwagi do rozwiązania arka1357:
arek1357 pisze: 11 sty 2023, o 09:07
Co sugeruje, że pierścień ilorazowy:
\(\displaystyle{ \ZZ[ \sqrt{-5}]|_{(a)}}\) jest izomorficzny z pierścieniem \(\displaystyle{ \ZZ}\)
Więc nie jest ciałem a więc nasz ideał \(\displaystyle{ (a)}\) nie jest maksymalny, trzeba pomnożyć przez ideał \(\displaystyle{ (b)}\)
[...]
Co sugeruje, że:
\(\displaystyle{ \ZZ[ \sqrt{-5} ]_{|(ab)}}\) można utożsamić z ciałem: \(\displaystyle{ Z_{2}=\left\{ 0,1\right\} }\)
Co by sugerowało, że pierścień \(\displaystyle{ (ab)}\) jest maksymalny...
Czyli ideał \(\displaystyle{ a}\) nie jest maksymalny, a z drugiej strony ideał \(\displaystyle{ ab\subseteq a}\) jest maksymalny. Tyle jeśli chodzi o przydatność katolickich, przedsoborowych zasad do matematyki.
Zastanówmy się, jak to zadanie rozwiązałby Lenin. Przede wszystkim trzeba wiedzieć, że Lenin nie tracił czasu na naukę katolickich zasad przedsoborowych. Zamiast tego studiował pilnie nauki przyrodnicze i filozofię (również niemarksistowską).
rozwiązanie leninowskie:
Pokażemy najpierw, jak można wywnioskować postać rozwiązania.
Zwróćmy uwagę, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2 + 5)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]}\) jest pierścieniem Dedekinda. W pierścieniu Dedekinda każdy niezerowy ideał jest iloczynem ideałów maksymalnych. Zauważmy też, że
$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/a \cong \mathbb{Z}[x]/(2, 1 + x, x^2 + 5) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2 + 5, 1 + x) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2 +1, 1 + x) \cong \mathbb{Z}_2[x]/((x+1)^2, 1 + x) = \mathbb{Z}_2[x]/(1 + x) = \mathbb{Z}_2$$
Zatem (wbrew temu, co uważają katolicy przedsoborowi) ideał \(\displaystyle{ a}\) jest maksymalny w rozważanym pierścieniu. Z faktu, że \(\displaystyle{ (2) \subseteq a}\) oraz tego, że jesteśmy w pierścieniu Dedekina wynika, że \(\displaystyle{ (2) = a\cdot b}\) dla pewnego ideału \(\displaystyle{ b}\). Sprawdźmy iloraz
$$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2) = \mathbb{Z}[x]/(2, x^2 + 5) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2 + 5) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{Z}_2[x]/((x+1)^2) = \mathbb{Z}_2[x+1]/((x+1)^2) = \mathbb{Z}_2[\epsilon]$$
gdzie \(\displaystyle{ \epsilon^2 = 0}\). Stąd wynika, że ideał \(\displaystyle{ (2)}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]}\) jest kwadratem pewnego ideału maksymalnego w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]}\). Z tego, co powiedzieliśmy wyżej, musi być \(\displaystyle{ a^2 = (2)}\). Tym samym doszliśmy do postaci rozwiązania.
\(\displaystyle{ a}\) z drugiej strony ideał \(\displaystyle{ ab⊆a}\)
jest maksymalny.
Skąd wziąłeś to zawieranie?
Re: Iloczyn ideałów
: 11 sty 2023, o 12:35
autor: Slup
Bucharin pisze:
\(\displaystyle{ a\cdot b}\) to z definicji ideał generowany przez iloczyny postaci \(\displaystyle{ x\cdot y}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in a}\) oraz \(\displaystyle{ y\in b}\). Każdy taki iloczyn należy do ideału \(\displaystyle{ a}\), a więc ideał generowany przez te iloczyny musi być w \(\displaystyle{ a}\) zawarty.