Matematyka.pl

Dzień dobry !

Mam problem ze zrozumieniem jak działa zdefiniowana i niezdefiniowana całka.
Problem polega na tym że całka niezdefiniowana jest odwrotnością całki, tylko nie ma jakby przypisanej własności. Co mam przez to na myśli jest to że pochodna jakiejś funkcji oznacza że mam funkcję która mówi mi "jak stromy" jest funkcja w danym punkcie. Natomiast jak zrobię całkę niezdefiniowanej danej funkcji to ona nic nie oznacza, a pochodna już tak.

Drugą sprawą jest to że całka zdefiniowana korzysta z różnicy dwóch niezdefiniowanych całek żeby obliczyć pole. Dlaczego ? Czemu to działa ?
Jedynie co wiem to niezdefiniowana całka jest tylko odwrotnością całki więc czemu ich różnica liczy pole ?

Szukałem rozwiązania na ten temat ale nie potrafiłem tego zrozumieć. Widziałem przykłady z prostokątami, ale tam było to tłumaczone tak że funkcja która już była pochodną należy zrobić kolejną pochodną, przekształcić lekko żeby mieć wzór na sumę prostokątów i z tego robimy całkę.

Nie za bardzo wtedy tego zrozumiałem załączam link Pozdrawiam.

Xenon02 pisze: 8 sty 2023, o 21:14Mam problem ze zrozumieniem jak działa zdefiniowana i niezdefiniowana całka.

To jakaś nowość. Czyżbyś miał na myśli całkę oznaczoną i nieoznaczoną?

Może przeczytaj coś po polsku? http://www.math.uni.wroc.pl/analiza-1

JK

Dobry wieczór !

Dziękuję za linka właśnie zacząłem czytać rozdział z całkami i lekko się zacząłem gubić obliczeniami jak wybieranie punktu pośredniego pomiędzy \(\displaystyle{ x_j, x_{j+1}}\), sumami.

Trochę też nie rozumiem tego dlaczego zastosowana tam została granica. Rozumiem mniej więcej to że chcemy mieć te przedziały jak najmniejsze ale czy to oznacza że jest to pochodna ? Bo zazwyczaj różnica pomiędzy dwoma punktami oraz granica do 0 była charakterystyczna dla pochodnej. Tylko tam jest coś na temat tego punktu pośredniego którego za bardzo nie rozumie.

I wzory były dosyć podobne ponieważ wzór na to co tam zastosowali to : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(x_{j+1})- f(x_j)}{x_{j+1}-x_j}}\) a pochodna ma taki wzór : \(\displaystyle{ f'(c) = \lim_{(x_{j+1}-x_j) \to 0}\frac{f(x_{j+1})- f(x_j)}{x_{j+1}-x_j}}\).

Dlaczego w obu przypadkach jest ten symbol pochodnej \(\displaystyle{ f'(c)}\) ? Bo wiem że ta druga funkcja to pochodna a ta pierwsza już nie.

Moim drugim pytaniem jest w sumie jakie znaczenie ma nieoznaczona całka, ponieważ pochodna ma i jest to współczynnik kierunkowy funkcji i to mówi pochodna sama w sobie, natomiast nieoznaczona całka nic nie mówi.

Pozdrawiam.

Xenon02 pisze: 8 sty 2023, o 22:32Moim drugim pytaniem jest w sumie jakie znaczenie ma nieoznaczona całka, ponieważ pochodna ma i jest to współczynnik kierunkowy funkcji i to mówi pochodna sama w sobie, natomiast nieoznaczona całka nic nie mówi.

Całka nieoznaczona z funkcji \(\displaystyle{ f}\) to rodzina wszystkich funkcji pierwotnych tej funkcji. Jej sensem jest wskazanie operacji odwrotnej do operacji wyznaczania funkcji pochodnej.

JK

Czyli jak robię całkę nieoznaczoną z np \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) to mam rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych ? Co to właściwie oznacza ?
Przy pochodnej to wiem że dla konkretnej funkcji mam wzór na jego "pochylenie" a z całki nieoznaczone to mam jakąś rodzinę ? Co to oznacza ?

A i dałbyś radę coś wspomnieć o tym wzorze co podałem w pierwszym pytaniu ? Bo używają tego samego symbolu ale jeden wzór jest wzorem na pochodną a drugi nie ale używają tego samego symbolu czyli tego przecinka obok pomiędzy f(x)

Pozdrawiam.

Xenon02 pisze: 8 sty 2023, o 23:02Czyli jak robię całkę nieoznaczoną z np \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) to mam rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych ? Co to właściwie oznacza ?

Dokładnie to: każda funkcja z tej rodziny jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\) i nie ma innych.

Xenon02 pisze: 8 sty 2023, o 23:02Przy pochodnej to wiem że dla konkretnej funkcji mam wzór na jego "pochylenie" a z całki nieoznaczone to mam jakąś rodzinę ? Co to oznacza ?

Funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\) gdy \(\displaystyle{ F'=f.}\)

Xenon02 pisze: 8 sty 2023, o 23:02A i dałbyś radę coś wspomnieć o tym wzorze co podałem w pierwszym pytaniu ? Bo używają tego samego symbolu ale jeden wzór jest wzorem na pochodną a drugi nie ale używają tego samego symbolu czyli tego przecinka obok pomiędzy f(x)

Ale gdzie Ty to znalazłeś?

JK

Jan Kraszewski pisze: 8 sty 2023, o 23:20

Xenon02 pisze: 8 sty 2023, o 23:02Czyli jak robię całkę nieoznaczoną z np \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) to mam rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych ? Co to właściwie oznacza ?

Dokładnie to: każda funkcja z tej rodziny jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\) i nie ma innych.

Przepraszam dalej troszeczkę tego nie rozumiem.
Zazwyczaj jak zadawałem to pytanie to jedyną odpowiedź była że jest odwrotnością i nie ma większego znaczenia.
bo np taka pochodną \(\displaystyle{ f'(x)}\) mogę narysować na \(\displaystyle{ f(x)}\) i ona ma jakieś znaczenie dla \(\displaystyle{ f(x)}\), natomiast teraz policzę \(\displaystyle{ F(x)}\) i co z nim ? Jakie ona ma znaczenie dla \(\displaystyle{ f(x)}\) ? mogę go gdzieś narysować ?

Jan Kraszewski pisze: 8 sty 2023, o 23:20 Ale gdzie Ty to znalazłeś?

Tutaj :
Użyli tej funkcji : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) no i używa tego symbolu gdzie pomiędzy f(x) jest przecinek tak jakby to była pochodna a to nie jest wzór na pochodną. A potem robi całkę z tej funkcji i zamienia \(\displaystyle{ f'(c)}\) na \(\displaystyle{ f(c)}\) tak jakby \(\displaystyle{ f'(c)}\) to pochodna ale jak mówiłem wcześniej przecież jego wzór to nie pochodna. Więc stąd moje zdziwienie.

Nie będę poruszać kwestii terminologii która jest tu kompletnie pomieszana i JK już ją poruszył. Przejdę od razu do Twojego bardzo dobrego pytania. Aby dobrze zrozumieć różnicę musisz uświadomić sobie, że całka oznaczona i nieoznaczona to kompletnie różne byty i nie miały by ze sobą nic wspólnego, gdyby nie twierdzenie Newtona-Leibniza aka podstawowe twierdzenie rachunku całkowego (choć czasem to ma się na mysli lekko inne twierdzenia, gdy mowa o tych dwóch). Dopiero to twierdzenie łączy i wyjaśnia zależność między całka oznaczoną i nieoznaczoną. Więc w skrócie i dla przypomnienia


to całka nieoznaczona i jest zdefiniowana jako funkcja której pochodna będzie \(\displaystyle{ f}\). Natomiast


to całka oznaczona i jest zdefiniowana najczęściej przez sumy całkowe Riemanna lub w sensie sensie Darboux.

Dlaczego całka oznaczona wyraża pole?

Bo tak została zdefiniowana. Dokładnie jest to pole znakowane więc to pod osią \(\displaystyle{ x}\) jest naliczane z minusem.

Xenon02 pisze: 8 sty 2023, o 21:14 sprawą jest to że całka zdefiniowana korzysta z różnicy dwóch niezdefiniowanych całek żeby obliczyć pole

I tu właśnie jest potrzebne twierdzenie Newtona-Leibniza. Jego dokładne sformowanie możesz znaleźć w każdej książce czy Internecie więc ja przedstawię jedynie intuicyjny aspekt tego dlaczego całka oznaczona ma coś wspólnego z nieoznaczonymi.

Powiedzmy, że chcemy policzyć Pomyślmy o tym trochę ogólniej, rozważamy funkcję \(\displaystyle{ F}\) jest to funkcja którą ma interpretację geometryczną. Jest to pole \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a,x]}\). Okazuje się, że pochodną tej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ f(x)}\). Policzmy pochodną z definicji



W tym momencie chce się odwołać jedynie do intuicji. Aby policzyć to dalej. Jeśli masz mały przedziałki \(\displaystyle{ \left[ x,x+h\right] }\) to pole pod funkcją \(\displaystyle{ f}\) możesz bardzo dobrze przybliżyć prostokątem o polu \(\displaystyle{ hf(x)}\) czyli długość przedziału razy wysokość. Zatem ta granica powinna i faktycznie wynosi \(\displaystyle{ f(x)}\). Ten rachunek został wykonany bez żadnych całek nieoznaczonych. Póki co wszystkie całki są oznaczone i myślimy jedynie kategoriami geometrycznymi. Otrzymaliśmy wiec, że


Ponad to zauważmy znów odwołując się jedynie do geometrii, że \(\displaystyle{ \int_{a}^{a} f(\xi )\, \dd \xi=0}\). Zatem \(\displaystyle{ F(a)=0}\). Jeśli teraz weźmiemy dowolną funkcję pierwotną \(\displaystyle{ \widetilde{F}}\) dla \(\displaystyle{ f}\), będzie się ona różnić od \(\displaystyle{ F}\) o stała (jak to funkcje pierwotne mają w zwyczaju). To znaczy



Tyle, że \(\displaystyle{ C=-\widetilde{F}(a)}\) tak aby \(\displaystyle{ F(a)=0}\). Zatem
więc kładąc \(\displaystyle{ x=b}\) mamy


czyli w naszym zapisie z całką
gdzie \(\displaystyle{ \widetilde{F}}\) to dowolna funkcja pierwotna (bo dowolną wybrałem). Można (choć zrobimy to jedynie tu) zapisać, że



gdzie \(\displaystyle{ \int_{}^{} f(x)\, \dd x }\) to jakaś funkcja pierwotna. A \(\displaystyle{ \left( \int_{}^{} f(x)\, \dd x \right) (b), \left( \int_{}^{} f(x)\, \dd x \right)(a)}\) to jej ewaluacje. I dopiero tu pojawia się zależność pomiędzy całka oznaczoną i nieoznaczoną.

PS od momentu w którym zacząłem to pisać trochę postów przybyło. Temat zaczyna trochę iść w kierunku formalizacji przejścia granicznego. Tak czy inaczej uważam, że powinieneś najpierw zrozumieć intuicję powyżej, a potem sformalizować o twierdzeniem o wartości średniej.

Xenon02 pisze: 8 sty 2023, o 23:37Użyli tej funkcji : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) no i używa tego symbolu gdzie pomiędzy f(x) jest przecinek tak jakby to była pochodna a to nie jest wzór na pochodną. A potem robi całkę z tej funkcji i zamienia \(\displaystyle{ f'(c)}\) na \(\displaystyle{ f(c)}\) tak jakby \(\displaystyle{ f'(c)}\) to pochodna ale jak mówiłem wcześniej przecież jego wzór to nie pochodna. Więc stąd moje zdziwienie.

Ale przeczytałeś cały ten fragment ze zrozumieniem? Przecież tam jest dokładnie opisane znaczenie tych symboli i tej równości (a \(\displaystyle{ f'(c)}\) oczywiście jest pochodna). A potem stosuje to samo twierdzenie do funkcji pierwotnej i dostaje \(\displaystyle{ F'(c)(B-A)=F(B)-F(A)}\). Jeśli chodzi o użycie symboli, to jest to trochę niezręczne, ale najwyraźniej piszący zakłada pewną sprawność matematyczną czytelnika.

JK

No ale wzór na pochodną funkcji jest \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)
A tam jest funkcja : \(\displaystyle{ f'(x) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) i to nie jest pochodna bo pochodna to ma granicę a tutaj jej nie ma.

To jest dla mnie konflikt rozumowania.

Janusz Tracz pisze: 9 sty 2023, o 00:02 Nie będę poruszać kwestii terminologii która jest tu kompletnie pomieszana i JK już ją poruszył...

Dobry wieczór

Przepraszam tam z góry, chciałem powiedzieć że nie jestem aż tak biegły z matematyki, wiem że pan chciał dla mnie dobrze, ale połowę równań nie do końca rozumiem. Nie mówię że to co jest napisanie nie jest prawdą tylko lekko nie za bardzo rozumiem, nie jestem aż tak biegły z matematyki .

Bo miałem głównie 3 problemy :

- co oznacza całka nieoznaczona i czy ma jakieś znaczenie jak go policzę. Dla pochodnej to jak policzę to miałem \(\displaystyle{ f'(x)}\) i ono miało jakieś znaczenie dla \(\displaystyle{ f(x)}\), a jak policzę \(\displaystyle{ F(x)}\) to ono nie ma żadnego znaczenia dla \(\displaystyle{ f(x)}\) tak jakby policzenie \(\displaystyle{ F(x)}\) nic nie znaczyło, bo nic nie daje dla \(\displaystyle{ f(x)}\), a pochodna coś oznacza dla \(\displaystyle{ f(x)}\).

- dlaczego tam autor tekstu tam inaczej zapisywał wzór na pochodną

- no i dlaczego właśnie całka oznaczona jest polem, bo jest tak zdefiniowana tylko że używa nieoznaczonych całek które jak narazie widzę nie mają żadnego znaczenia, a przynajmniej nie mają tak jak to mają pochodne, bo to jest tak że całka nieoznaczona jest wzorem i tyle, a na co ? Co ten wzór ma oznaczać ? Czy ma jakieś znaczenie na \(\displaystyle{ f(x)}\) nie wiem ?

Oczywiście odpowiedziałeś na pytanie z całką oznaczoną czemu jest polem, tylko jak wspomniałem nie jestem biegły w matematyce i lekko średnio to zrozumiałem Przepraszam.

Xenon02 pisze: 9 sty 2023, o 00:23No ale wzór na pochodną funkcji jest \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\)
A tam jest funkcja : \(\displaystyle{ f'(x) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) i to nie jest pochodna bo pochodna to ma granicę a tutaj jej nie ma.

To jest dla mnie konflikt rozumowania.

Nie ma żadnego konfliktu, po prostu nie rozumiesz, co czytasz.

Tam nie ma żadnej "funkcji \(\displaystyle{ f'(x) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)". To jest twierdzenie o wartości średniej, które mówi, że dla (dostatecznie porządnej) funkcji \(\displaystyle{ f}\) określonej na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) ISTNIEJE \(\displaystyle{ c\in [a,b]}\), dla którego (zdarza się taka wyjątkowa sytuacja, że) zachodzi równość \(\displaystyle{ f'(c) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\).

JK

Dalej nie rozumiem, czyli co to jest inny wzór na pochodną ? Co to oznacza że mam jakiś punkt "c", to jest coś równoznaczne z każdym punktem jak w typowym wzorze na pochodną funkcji f'(x) ?

Albo inaczej czy mógłbyś mi dać porównanie jeśli jest to możliwe ? Między jednym a drugim wzorkiem ? I dlaczego akurat ten drugi wzorek \(\displaystyle{ f'(c) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) jest pochodną ?

Trochę nie zrozumiałem i prosiłbym bardzo o jakiś przykład jeśli jest to możliwe.
Trochę jestem przytępawy.

Xenon02 pisze: 9 sty 2023, o 00:34Dalej nie rozumiem, czyli co to jest inny wzór na pochodną ?

Nie, to jest twierdzenie.

Xenon02 pisze: 9 sty 2023, o 00:34Co to oznacza że mam jakiś punkt "c", to jest coś równoznaczne z każdym punktem jak w typowym wzorze na pochodną funkcji f'(x) ?

Nie. Napisałem słowo "istnieje" dużymi literami, ale chyba nie zauważyłeś.

Xenon02 pisze: 9 sty 2023, o 00:34Albo inaczej czy mógłbyś mi dać porównanie jeśli jest to możliwe ? Między jednym a drugim wzorkiem ?

To nie są "wzorki". Jeżeli nie odróżniasz definicji od twierdzenia, to faktycznie będziesz miał kłopot ze zrozumieniem.

Xenon02 pisze: 9 sty 2023, o 00:34I dlaczego akurat ten drugi wzorek \(\displaystyle{ f'(c) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) jest pochodną ?

On NIE JEST pochodną. To jest twierdzenie, w którym występuje pochodna.

JK

Czyli jeśli dobrze rozumiem ?
Definicja tutaj jest pochodna jego wzór mówi nam jak "stromy" jest funkcja w danym punkcie.
Natomiast tam jest twierdzenie, więc ona mówi że w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c}\) w którym "strom" będzie taki sam jak "strom" odcinka pomiędzy punktem \(\displaystyle{ a,b}\) ? I dlatego tam jest \(\displaystyle{ f'(c)}\) dla tego twierdzenia ponieważ to jest "strom" ? Więc to jest jakby pochodna ale nie jest on uniwersalny, bo nie jest ona dla każdego \(\displaystyle{ x}\) funkcji tylko dla konkretnych \(\displaystyle{ c}\)?

Przepraszam, próbuję jakoś to własnymi słowami to powiedzieć.

Xenon02 pisze: 9 sty 2023, o 00:58Natomiast tam jest twierdzenie, więc ona mówi że w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c}\) w którym "strom" będzie taki sam jak "strom" odcinka pomiędzy punktem \(\displaystyle{ a,b}\) ? I dlatego tam jest \(\displaystyle{ f'(c)}\) dla tego twierdzenia ponieważ to jest "strom" ? Więc to jest jakby pochodna ale nie jest on uniwersalny, bo nie jest ona dla każdego \(\displaystyle{ x}\) funkcji tylko dla konkretnych \(\displaystyle{ c}\)?

Tak, o coś takiego chodzi.

JK