Matematyka.pl

Dzień dobry,
mam wyznaczyć punkty, w których funkcja \(\displaystyle{ f(x,y) = \left| x-y\right| }\) jest różniczkowalna oraz wyznaczyć jej różniczkę. Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania.

Niech \(\displaystyle{ x \neq y}\). Wtedy:
\(\displaystyle{
\frac{df}{dx}(x,y) = \begin{cases} 1\quad\textrm{, dla}\quad x >y \\ -1\quad\textrm{, dla}\quad x <y \end{cases}
,\qquad
\frac{df}{dy}(x,y) = \begin{cases} 1\quad\textrm{, dla}\quad y >x \\ -1\quad\textrm{, dla}\quad y <x \end{cases}
}\)
Dalej badam istnienie pochodnych kierunkowych w punktach postaci \(\displaystyle{ (a,a),\quad a\in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{
\frac{df}{dx}(a,a) = \lim_{ t\to 0 }\frac{f((a,a)-(t,0))-f(a,a)}{t}= \lim_{t \to 0 }\frac{\left| a-t-a\right| }{t}= \lim_{t \to 0 }\frac{\left| t\right| }{t}
}\)
Czyli pochodna po x nie istnieje. Podobnie z pochodną po y. Czyli f jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2 \setminus \left\{ (x,y) : x=y\right\} }\)

Niech \(\displaystyle{ h=(h_1,h_2)\in\mathbb{R}^2}\). Wtedy:
\(\displaystyle{
Df(x,y)h = \begin{cases} h_1 - h_2,\quad\textrm{dla }\quad x>y \\ -h_1 + h_2,\quad\textrm{dla }\quad x<y \end{cases}
}\)

Czy to poprawne rozwiązanie? Z góry dziękuję za odpowiedź.

Bo wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = |x-y| }\) są dwie półpłaszczyzny przecinające się wzdłuż prostej (krawędzi)\(\displaystyle{ y= x.}\)