Matematyka.pl

Ile jest ciągów geometrycznych \(\displaystyle{ a_1, a_2, . . .}\) o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ a_1 = a}\) oraz ilorazie \(\displaystyle{ q}\), gdzie
\(\displaystyle{ a, q}\) są dodatnimi liczbami całkowitymi oraz \(\displaystyle{ \log_8 {a_1} + \log_8 {a_2}+ . . . + \log_8 {a_{12}} = 2006}\)

No to zacząłem od tego, że:
\(\displaystyle{ 8^{2006}=a^{12} \cdot q^{66}=2^{6018}}\) no i teraz widać, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ q}\) muszą być potęgami dwójki więc:
\(\displaystyle{ a=2^m}\) i \(\displaystyle{ q=2^n}\) i
\(\displaystyle{ 2^{12m} \cdot 2^{66n}=2^{6018}}\)
\(\displaystyle{ 2m+11n=1003}\)
Czy do tego momentu jest dobrze? Ok, ale jeśli nawet to nie wiem ile rozwiązań naturalnych ma to równanie. Może mi ktoś pomóc?

Policz. `n=0, n=1, n=2,...`

Aha, ale do tego momentu jest dobrze?

No to widać, że dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych nie ma rozwiązania, bo lewa strona jest parzysta, a prawa nie. No to rozwiązania są dla \(\displaystyle{ n=1}\), \(\displaystyle{ n=3}\),...,\(\displaystyle{ n=91}\) i to jest największe możliwe \(\displaystyle{ n}\), bo wtedy mamy \(\displaystyle{ 2 \cdot 1+11 \cdot 91=1003}\) i dla \(\displaystyle{ n>91}\), musiałoby być ujemne \(\displaystyle{ m}\). Czyli rozwiązań naturalnych jest \(\displaystyle{ (91-1)/2+1=46}\). Czyli takich ciągów jest \(\displaystyle{ 46}\).

Czy tak jest dobrze?

ok