Matematyka.pl

Napisać szereg Taylora dla funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \sin 2x}\), \(\displaystyle{ x_{0} = \frac{ \pi }{2}}\)

A więc obliczyłem pochodne:
\(\displaystyle{ f'(x) = 2 \cos 2x \\
f''(x) = -4 \sin 2x \\
f'''(x) = -8 \cos 2x \\
f''''(x) = 16 \sin 2x \\
f'''''(x) = 32 \cos 2x}\)

i nie potrafię dobrać zależności pomiędzy wyrazami tego ciągu (\(\displaystyle{ f^n}\))
Jakieś wskazówki?

Wystarczy uogólnić, zauważając że ta sama postać pochodnej powtarza się co cztery kroki:

\(\displaystyle{ f^{(n)}(x) = \begin{cases}
2^n \sin(2x) & \text{dla } n = 4k, \phantom{\: + \: 1} \, k \in \NN, \\
2^n \cos(2x) & \text{dla } n = 4k+1, \, k \in \NN, \\
-2^n \sin(2x) & \text{dla } n = 4k+2, \, k \in \NN, \\
-2^n \cos(2x) & \text{dla } n = 4k+3, \, k \in \NN,
\end{cases}}\)

lub w zwartej formie

\(\displaystyle{ f^{(n)}(x) = 2^n \sin \left( 2x + \frac{n \pi}{2} \right)}\).