Matematyka.pl

Wykazać prawdziwość następujących wzorów:

1. \(\displaystyle{ \left\langle 2, 5\right\rangle \cup \left\langle 3,7\right\rangle = \left\langle 2, 7\right\rangle
}\)

\(\displaystyle{ x \in \left(\left\langle 2, 5\right\rangle \cup \left\langle 3,7\right\rangle \right) \Leftrightarrow x \in \left\langle 2, 5\right\rangle \vee x \in \left\langle 3, 7\right\rangle \Leftrightarrow x \in \left\langle 2, 7\right\rangle }\)


2. \(\displaystyle{ \left( 1, 3\right) \cap \left( 3, 5\right) = \emptyset}\)

\(\displaystyle{ x \in \left[ \left( 1, 3\right) \cap \left( 3, 5\right) \right] \Leftrightarrow x \in \left( 1, 3\right) \wedge x\in \left( 3,5\right) \Leftrightarrow x \in \emptyset}\)


3. \(\displaystyle{ \left( A \setminus B\right) \cap B = \emptyset}\)

\(\displaystyle{ x \in \left[ \left( A \setminus B\right) \cap B\right] \Leftrightarrow x \in \left( A \setminus B\right) \wedge x \in B \Leftrightarrow \left( x \in A \wedge x \notin B\right) \wedge x \in B \Leftrightarrow x \in A \wedge \left( x \notin B \wedge x \in B\right) \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in \emptyset \Leftrightarrow x \in \emptyset }\)


Pierwsze dwa są dla mnie dość dziwne, zrobiłem je na siłę. Proszę o podpowiedź.

Twoje dowody są znaczkowe i jest to najgorszy rodzaj dowodów. Matematycy używają ich w wyjątkowych sytuacjach, niezwykle rzadko. Dobry dowód to dowód przekonujący (matematyków). Najlepiej wyrażony zdaniami. Sugeruję, byś poćwiczył takie dowody - to Ci się przyda w matematyce.

Przykładowo dowód, że \(\displaystyle{ (A\setminus B) \cap B=\emptyset}\) może być taki:

Zauważmy najpierw, że zbiory \(\displaystyle{ A\setminus B}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) nie mają wspólnych elementów, gdyż zbiór \(\displaystyle{ A\setminus B}\) składa się własnie z tych elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), które nie należą do zbioru \(\displaystyle{ B}\). Przekrój zbiorów \(\displaystyle{ A\setminus B}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) składa sie zaś dokładnie ze wspólnych elementów tych zbiorów, jest więc pusty.

Spróbuj podobnie udowodnić pierwsze dwa punkty.

Oczywiście na niektórych wykładach studentów uczy się dowodów przez rachunkowe przekształcenia formuł symbolicznych. Ma to sens, ale sądzę, że najpierw warto nauczyć się dowodów jak wyżej, słownych. Zapisy symboiczne są bowiem skrótami dowodów słownych.

1. \(\displaystyle{ \left\langle 2, 5\right\rangle \cup \left\langle 3,7\right\rangle = \left\langle 2, 7\right\rangle
}\)

Wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 2, 5\right\rangle}\) i wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 3, 7\right\rangle}\) należą do \(\displaystyle{ \left\langle 2, 7\right\rangle,}\) więc z definicji sumy zbiorów, wszystkie elementy \(\displaystyle{ \left\langle 2, 5\right\rangle \cup \left\langle 3, 7\right\rangle}\) należą do \(\displaystyle{ \left\langle 2, 7\right\rangle.}\) Zatem \(\displaystyle{ \left\langle 2, 5\right\rangle \cup \left\langle 3, 7\right\rangle \subset \left\langle 2, 7\right\rangle.}\)

Tylko nie wiem, jak pokazać zawieranie w drugą stronę bez zakładania tezy.

2. \(\displaystyle{ \left( 1, 3\right) \cap \left( 3, 5\right) = \emptyset}\)

W zbiorze \(\displaystyle{ \left( 1, 3\right)}\) wszystkie elementy są mniejsze od \(\displaystyle{ 3}\). W zbiorze \(\displaystyle{ \left( 3, 5\right)}\) wszystkie elementy są większe od \(\displaystyle{ 3}\). Oba te zbiory nie zatem żadnych wspólnych elementów, więc przekrój tych zbiorów jest zbiorem pustym (z definicji przekroju).

Samouk1 pisze: ↑29 gru 2022, o 18:50 1. \(\displaystyle{ \left\langle 2, 5\right\rangle \cup \left\langle 3,7\right\rangle = \left\langle 2, 7\right\rangle
}\)

Wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 2, 5\right\rangle}\) i wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 3, 7\right\rangle}\) należą do \(\displaystyle{ \left\langle 2, 7\right\rangle,}\) więc z definicji sumy zbiorów, wszystkie elementy \(\displaystyle{ \left\langle 2, 5\right\rangle \cup \left\langle 3, 7\right\rangle}\) należą do \(\displaystyle{ \left\langle 2, 7\right\rangle.}\) Zatem \(\displaystyle{ \left\langle 2, 5\right\rangle \cup \left\langle 3, 7\right\rangle \subset \left\langle 2, 7\right\rangle.}\)

Tylko nie wiem, jak pokazać zawieranie w drugą stronę bez zakładania tezy.

Bardzo ładny dowód punktu 2. A w punkcie 1 brakuje Ci jeszcze dowodu inkluzji w drugą stronę. No, to to (zgodnie z definicją inkluzji zbiorów) robi się tak, że rozqaża się dowolny element \(\displaystyle{ x}\) zbioru \(\displaystyle{ \langle 2,7\rangle}\) i (ewentualnie rozważając przypadki) uzasadnai się, ze ten \(\displaystyle{ x}\) należy do przynajmniej jednego ze składników sumy po lewej stronie. Zastanów się, jakie może być to \(\displaystyle{ x}\). Powodzenia!

Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie dowolnie ustalonym elementem zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 2, 7\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ x}\) nie jest mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\), ani większe od \(\displaystyle{ 7,}\) bo nie należałby do zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 2, 7\right\rangle}\)

W przypadku, gdy \(\displaystyle{ x \notin \left\langle 2, 5\right\rangle,}\) to \(\displaystyle{ x}\) musi być większe od \(\displaystyle{ 5}\) i nie większe niż \(\displaystyle{ 7}\) zatem \(\displaystyle{ x \in \left(5, 7\right\rangle \subset \left\langle 3, 7\right\rangle }\)

W przypadku, gdy \(\displaystyle{ x \notin \left\langle 3, 7\right\rangle,}\) to \(\displaystyle{ x}\) musi być mniejszy niż \(\displaystyle{ 3}\), ale nie mniejszy niż \(\displaystyle{ 2}\), więc \(\displaystyle{ x \in \left\langle 2, 3 \right) \subset \left\langle 2,5 \right\rangle }\)

Zatem \(\displaystyle{ x \in \left\langle 2, 5\right\rangle \cup \left\langle 3, 7\right\rangle}\)

Jak dla mnie nieco przekombinowane. Po ustaleniu \(\displaystyle{ x\in\left\langle 2, 7\right\rangle}\) prościej byłoby rozpatrzyć przypadki \(\displaystyle{ x\le 5}\) i \(\displaystyle{ x>5.}\)

Gdy rozpatrujemy przypadki powinno od razu być jasne, że rozpatrzyliśmy wszystkie możliwości. Przy Twoim podejściu jest to nieco mniej oczywiste.

JK