Matematyka.pl

Mam przykład:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(a+1)(a+2) \cdot ... \cdot (a+n)} }\)

Z kryterium Raabego:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{(a+1)(a+2) \cdot ... \cdot (a+n)} \cdot \frac{(a+1)(a+2) \cdot ... \cdot (a+n)(a+n+1)}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty } \frac{a+n+1}{n+1} }\)

Co dalej? W odpowiedziach jest napisane że szereg rozbieżny dla \(\displaystyle{ 0 < a \le 1}\) i zbieżny dla \(\displaystyle{ a>1}\) ale jakoś tego nie widzę.

Bo nie skorzystałaś z kryterium Raabego - tam bada się ciąg \(\displaystyle{ n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right)}\).

To wiele tłumaczy, ale mam jeszcze jedno pytanie. Dlaczego rozbieżny dla \(\displaystyle{ a = 1}\)? Po skorzystaniu z kryterium wyszło mi \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n( \frac{a+n+1}{n+1} -1) = \lim_{ n\to \infty } n( \frac{a+n+1-n-1}{n+1})= \lim_{ n\to \infty } \frac{an}{n+1} = a }\)

Widać zatem że jest zbieżny dla \(\displaystyle{ a>1}\) i rozbieżny dla \(\displaystyle{ a<1}\). Jak wyznaczyć rozbieżność w \(\displaystyle{ a = 1}\) i dlaczego nie jest rozbieżny dla \(\displaystyle{ a \le 0}\)?

Dodano po 3 minutach 55 sekundach:
Zastanowiłam się chwilę i doszłam do wniosku że jest rozbieżny w \(\displaystyle{ a=1}\) bo wyraz ogólny zbiega do \(\displaystyle{ \infty}\) ?

OrangeBagel20 pisze: 21 gru 2022, o 10:37Zastanowiłam się chwilę i doszłam do wniosku że jest rozbieżny w \(\displaystyle{ a=1}\) bo wyraz ogólny zbiega do \(\displaystyle{ \infty}\) ?

Nie, dla \(\displaystyle{ a=1}\) dostajesz po prostu szereg harmoniczny, bo wyraz ogólny to \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}.}\)

JK

A co z \(\displaystyle{ a}\) ujemnym?

Sprawdź warunek konieczny.