Kryterium zagęszczania
: 20 gru 2022, o 22:13
Cześć, chciałabym się upewnić czy dobrze zrobiłam poniższe przykłady:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\log n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 ^{n} \frac{1}{\log2 ^{n} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2 ^{n} }{n\log2} }\)
Widzimy, że wyraz ogólny nie zbiega do zera więc z warunku koniecznego szereg ten jest rozbieżny.
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(\ln n) ^{3} } }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 ^{n} \frac{1}{2 ^{n} (\ln2 ^{n}) ^{3} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(n\ln2) ^{3} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{3} (\ln2) ^{3} } = \frac{1}{ (\ln2) ^{3}} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{3} } }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{3} } }\) jest zbieżny więc \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(\ln n) ^{3} } }\) także jest zbieżny
c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n}{n ^{2} } }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 ^{n} \frac{\ln 2 ^{n} }{(2 ^{n}) ^{2} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n\ln2}{2 ^{n} } = \ln 2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2 ^{n} } }\)
Korzystając z kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{ 2^{n+1} } \cdot \frac{2 ^{n} }{n} = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} }\)
Ze zbieżności tego szeregu wynika zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n}{n ^{2} } }\)
d) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\log n}{n ^{2} \sqrt{n} } }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 ^{n} \frac{\log 2 ^{n} }{(2 ^{n}) ^{2} \sqrt{2 ^{n} } } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\log 2 ^{n} }{2 ^{n} \sqrt{2 ^{n} } } = \log 2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2 ^{n} \sqrt{2 ^{n} } } }\)
Korzystając z kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2 ^{n+1} \sqrt{2 ^{n+1} } } \cdot \frac{2 ^{n} \sqrt{2 ^{n} } }{n} = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2 \sqrt{2}n } = \frac{1}{2 \sqrt{2} } }\)
Ze zbieżności tego szeregu wynika zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\log n}{n ^{2} \sqrt{n} } }\)
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\log n} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 ^{n} \frac{1}{\log2 ^{n} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2 ^{n} }{n\log2} }\)
Widzimy, że wyraz ogólny nie zbiega do zera więc z warunku koniecznego szereg ten jest rozbieżny.
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(\ln n) ^{3} } }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 ^{n} \frac{1}{2 ^{n} (\ln2 ^{n}) ^{3} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(n\ln2) ^{3} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{3} (\ln2) ^{3} } = \frac{1}{ (\ln2) ^{3}} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{3} } }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{3} } }\) jest zbieżny więc \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(\ln n) ^{3} } }\) także jest zbieżny
c) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n}{n ^{2} } }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 ^{n} \frac{\ln 2 ^{n} }{(2 ^{n}) ^{2} } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n\ln2}{2 ^{n} } = \ln 2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2 ^{n} } }\)
Korzystając z kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{ 2^{n+1} } \cdot \frac{2 ^{n} }{n} = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} }\)
Ze zbieżności tego szeregu wynika zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n}{n ^{2} } }\)
d) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\log n}{n ^{2} \sqrt{n} } }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2 ^{n} \frac{\log 2 ^{n} }{(2 ^{n}) ^{2} \sqrt{2 ^{n} } } = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\log 2 ^{n} }{2 ^{n} \sqrt{2 ^{n} } } = \log 2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2 ^{n} \sqrt{2 ^{n} } } }\)
Korzystając z kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2 ^{n+1} \sqrt{2 ^{n+1} } } \cdot \frac{2 ^{n} \sqrt{2 ^{n} } }{n} = \lim_{ n\to \infty } \frac{n+1}{2 \sqrt{2}n } = \frac{1}{2 \sqrt{2} } }\)
Ze zbieżności tego szeregu wynika zbieżność \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\log n}{n ^{2} \sqrt{n} } }\)