Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (X,d),(Y,\rho)}\) będą przestrzeniami metrycznymi i niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\).Pokazać, że
(1)\(\displaystyle{ f}\) jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lim_{\delta \to 0+}\omega_f(\delta) = 0}\), gdzie dla \(\displaystyle{ \delta >0, \omega_f(\delta):= \sup\{\rho(f(x),f(y)):x,y \in X,d(x,y) \le \delta\}.}\)
(2) dla ustalonego \(\displaystyle{ z \in X}\), \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ z}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \omega_f(z) := \inf_{r>0} \sup\{ρ(f(x),f(y)) :x,y \in \mathbb{B}(z,r)\}= 0.}\)
(3) zbiór punktów ciągłości \(\displaystyle{ f}\) jest przeliczalnym przecięciem zbiorów otwartych.

Intuicyjnie rozumiem te równoważności, ale nie na tyle żeby umieć je wytłumaczyć. Prosiłbym o wytłumaczenie tego lub jakieś nakierowanie jak podejść do tych przykładów.

\(\displaystyle{ (1)}\) Do pokazania jest:


Standardowo zdecydował bym się na jakiś kierunek implikacji, ustalił bym \(\displaystyle{ \epsilon}\) skorzystał z założenia dopierając \(\displaystyle{ \delta}\) wrócił do tezy i sprawdzał czy \(\displaystyle{ \delta}\) działa. Jednak wydaje mi się, że można to sobie odpuścić bowiem odwzorowanie:


jest niemalejące więc esencją warunku \(\displaystyle{ (\forall \epsilon)(\exists \delta)(\forall \Delta \le \delta)\, \sup\left\{ \left| f(x)-f(y)\right| : \left| x-y\right| \le \Delta \right\} \le \epsilon}\) jest po prostu warunek \(\displaystyle{ (\forall \epsilon)(\exists \delta)\, \omega_f(\delta) \le \epsilon}\). Zauważmy jednak, że dla ustalonych \(\displaystyle{ \epsilon}\) oraz \(\displaystyle{ \delta}\) zachodzi równoważność


\(\displaystyle{ \left( \Rightarrow \right) }\) Jeśli zawsze \(\displaystyle{ \left| f(x)-f(y)\right| \le \epsilon}\) dla \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \le \delta}\) to i \(\displaystyle{ \sup\left\{ \left| f(x)-f(y)\right| : \left| x-y\right| \le \delta \right\} \le \epsilon}\).

\(\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right) }\) Skoro \(\displaystyle{ \sup\left\{ \left| f(x)-f(y)\right| : \left| x-y\right| \le \delta \right\} \le \epsilon}\) to i zawsze \(\displaystyle{ \left| f(x)-f(y)\right| \le \epsilon}\) o ile tylko \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \le \delta}\).