Matematyka.pl

Zastanawiałam się chwilę nad poniższym przykładem:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to2 ^{-} }\left( \frac{x+1}{x-4}\right)^{4-x} }\)

Wiem o tym że gdyby w tym przykładzie \(\displaystyle{ x}\) zbiegało do nieskończoności to można by było rozwiązać te zadanie przekształcając te wyrażenie do postaci \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{1}{ \frac{x-4}{5} }\right) ^{\frac{x-4}{5} } \right]^{ \frac{20-5x}{x-4} } }\)

Czy można zrobić to samo w przypadku gdy \(\displaystyle{ x}\) nie zbiega do nieskończoności? A może po prostu za bardzo kombinuję i wystarczy podstawić \(\displaystyle{ 2}\) pod \(\displaystyle{ x}\) i granica będzie równa \(\displaystyle{ \frac{9}{4} }\)?

Mogę prosić o dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ \left( \frac{x+1}{x-4} \right) ^{4-x}}\)?

Nawiązując do pytania Janusza Tracza: skąd wzięłaś ten przykład?

JK

Dostałam je od kolegi ze starszego roku. Prawdopodobnie pojawiło się kiedyś na ćwiczeniach z analizy albo na jakimś kolokwium. A dlaczego miałoby to być istotne?

Edit: Dziedzina nie była podana w poleceniu.

OrangeBagel20 pisze: ↑19 gru 2022, o 18:53Edit: Dziedzina nie była podana w poleceniu.

No i w tym problem. Założeniem przy funkcji wykładniczej jest dodatniość podstawy, więc dziedzina naturalna tej funkcji to \(\displaystyle{ (-\infty,-1)\cup(4,+\infty)}\) i liczenie granicy w dwójce nie ma sensu.

JK

Przekształcamy na iloczyn dwóch granic skończonych:

\(\displaystyle{ \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ 4 \cdot \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ {-x} \rightarrow \frac{9}{4},}\) gdy \(\displaystyle{ x\rightarrow 2^{-}, \ \ x\rightarrow 2^{+}.}\)

OrangeBagel20 pisze: ↑19 gru 2022, o 18:53 Edit: Dziedzina nie była podana w poleceniu.

Dlatego samemu trzeba się nad nią zastanowić. W zależności od tego jaka jest dziedzina zależy dalsze postępowanie. Podam trzy możliwe opcje które przychodzą mi do głowy choć tylko jedna jest realnie prawdopodobna:

• Dziedzina jest \(\displaystyle{ (-\infty,-1)\cup(4,+\infty)}\) więc \(\displaystyle{ 2}\) nie jest punktem skupienia. Więc pytanie o \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2} }\) nie ma sensu.

Teraz nierealne opcje być może nawet bezsensowne, choć po chichu na nie liczę aby się coś działo:

• Dookreślisz funkcję \(\displaystyle{ \left( \frac{x+1}{x-4} \right) ^{4-x}}\) na zbiorze którego punktem skupienia już jest \(\displaystyle{ 2}\).

• Zmienisz topologię na \(\displaystyle{ \RR}\) tak aby \(\displaystyle{ 2}\) było punktem skupienia \(\displaystyle{ (-\infty,-1)\cup(4,+\infty)}\) .

PS dwie ostatnie opcje to pół-żart, a pół-nie-żart.

PPS to jest idealne zadanie na kolokwium.

janusz47 pisze: ↑19 gru 2022, o 19:08 Przekształcamy na iloczyn dwóch granic skończonych:

\(\displaystyle{ \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ 4 \cdot \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ {-x} \rightarrow \frac{9}{4},}\) gdy \(\displaystyle{ x\rightarrow 2^{-}, \ \ x\rightarrow 2^{+}.}\)

No sensu to nie ma, niestety.

JK

Sens ma.

janusz47 pisze: ↑19 gru 2022, o 20:44Sens ma.

Powyżej masz wyjaśnione, dlaczego nie ma.

JK

janusz47 pisze: ↑19 gru 2022, o 19:08 Przekształcamy na iloczyn dwóch granic skończonych:

\(\displaystyle{ \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ 4 \cdot \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ {-x} \rightarrow \frac{9}{4},}\) gdy \(\displaystyle{ x\rightarrow 2^{-}, \ \ x\rightarrow 2^{+}.}\)

Więc zgodnie ze znanym faktem o granicach jednostronnych mielibyśmy \(\displaystyle{ \left(\frac{x+1}{x-4}\right)^ {4-x}\to \frac{9}{4} }\), gdy \(\displaystyle{ x\to 2}\). Proszę o \(\displaystyle{ \epsilon-\delta}\) dowód albo o \(\displaystyle{ \delta>0}\) dobrą dla \(\displaystyle{ \epsilon =1}\) albo dowód oparty o definicję Heinego.

janusz47 pisze: ↑19 gru 2022, o 20:44Sens ma.

Szanowni Panowie oponenci janusza47,
Skoro w warunkach bojowych wartości kosinusa liczby rzeczywistej mogą być większe niż `9` (wiem, bo swoje odsłużyłem), to proszę przyjąć do wiadomości, że owo wyrażenie sens posiadać w takich warunkach może. A że wojna za ścianą...

Według Heine:

\(\displaystyle{ a_{n} = 2 - \frac{1}{n}, \ \ n \rightarrow \infty }\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( \frac{2 -\frac{1}{n} +1}{2 -\frac{1}{n}-4}\right)^{\left(4 - 2 +\frac{1}{n}\right)} = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 -\frac{1}{n}}{-2-\frac{1}{n}}\right)^{\left(2 +\frac{1}{n}\right)} = \frac{9}{4}.}\)

janusz47 pisze: ↑20 gru 2022, o 15:49\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( \frac{2 -\frac{1}{n} +1}{2 -\frac{1}{n}-4}\right)^{\left(4 - 2 +\frac{1}{n}\right)} = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{3 -\frac{1}{n}}{-2-\frac{1}{n}}\right)^{\left(2 +\frac{1}{n}\right)} = \frac{9}{4}.}\)

Fajnie jest liczyć granicę ciągu, w którym przynajmniej połowa wyrazów nie istnieje. Mógłbyś policzyć dla ciągu \(\displaystyle{ b_n=\left(\frac{3 -\frac{1}{n}}{-2-\frac{1}{n}}\right)^{\left(2 +\frac{1}{n}\right)}}\) np. \(\displaystyle{ b_{10}}\)?

JK

Miałem policzyć gtanicę funkcji w punkcie \(\displaystyle{ 2.}\) Granica ta istnieje istnieje i jest równa \(\displaystyle{ \frac{9}{4}, }\) co potwierdzają Wolfram, Mathematica, Matics, Sage, Maxima, Apple, Mathcad,Eigemath, a nawet MATLAB: