Matematyka.pl

Witam, mam problem z poniższym zadaniem:
Hodowca postanowił ogrodzić płotem prostokątną działkę na wybieg dla koni. Płot będzie miał łączną długość 1000m. Jakie wymiary powinna mieć ta działka, aby jej powierzchnia była największa z możliwych? Zapisz obliczenia.

Po wyliczeniach wychodzi mi, że b=250 oraz a=250, czyli działka jest kwadratowa. Czy jest taka możliwość czy wykonałam błąd w obliczeniach?

Tak , jest taka możliwość . Chytry sposób którego raczej nie uczą w zwykłej szkole , to oznaczyć boki tego prostokąta przez \(\displaystyle{ 250-h, 250+h}\)
no bo jak na to wpaść? Wtedy pole prostokąta wynosi \(\displaystyle{ (250-h)(250+h)=250^2-h^2}\) i widać że jest największe dla \(\displaystyle{ h=0}\)

Dziękuję bardzo

Prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{4} - \frac{(x-y)^2}{4} = x y, \ \ x,y \in \RR \ \ (*) }\)

Wykażemy,, że gdy dwie dowolne wartości \(\displaystyle{ x, y }\) zmieniają się tak, że ich suma jest stała, to w przypadku, gdy iloczyn tych wielkości osiąga wartość największą, otrzymujemy \(\displaystyle{ x = y. }\)

Założenie: \(\displaystyle{ x+ y = C }\)

Teza: \(\displaystyle{ x = y.}\)

Dowód:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ x+y = C }\) gdzie \(\displaystyle{ C }\) jest stałą i że \(\displaystyle{ xy }\) jest maksymalne.

Skoro \(\displaystyle{ xy }\) jest maksymalne wtedy prawa strona tożsamości \(\displaystyle{ (*) }\) jest maksymalna. A że prawa strona jest równa lewej, więc lewa strona jest maksymalna.

Zatem po lewej stronie mamy sytuację taką, że od stałej \(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{4} }\) odejmujemy \(\displaystyle{ \frac{(x-y)^2}{4} }\) i otrzymujemy możliwie najwięcej.

Stąd \(\displaystyle{ \frac{(x-y)^2}{4} }\) jest możliwie najmniejsze, czyli \(\displaystyle{ 0.}\) A jeżeli tak, to \(\displaystyle{ x = y. }\)

Twierdzenie to można dowieść klasycznie w oparciu o funkcję kwadratową.

W zadaniu Pani mileny12345

\(\displaystyle{ 2a + 2b = 1000 m }\)

\(\displaystyle{ a+ b = 500 m}\)

Z układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b = 500 m \\ a = b, \end{cases} }\)

otrzymujemy \(\displaystyle{ a = 250 m, \ \ b = 250 m. }\)

Skąd Ty wziąłeś tę równość pierwszą ja się pytam.

A sama se sprawdź to zobaczysz, że jest prawdziwa...

Niepokonana pisze: ↑19 gru 2022, o 23:15 Skąd Ty wziąłeś tę równość pierwszą ja się pytam.

To jest tożsamość polaryzacyjna ważna rzecz na zajęciach z analizy funkcjonalnej. Można to udowodnić rozpisując wzory skróconego mnożenia w tym przypadku.

No dobra, może i tak, ale jak na to wpaść i skąd się to wzięło?

Eeee, ja nie jestem pewna, że chcemy to z analizy funkcjonalnej liczyć... To zadanie licealne.

Nic tu nie liczysz z żadnej analizy funkcjonalnej. Po prostu każdy zna ten wzór bo się ciągle przewija w różnych wydaniach. A wpaść na niego można jak się człowiek chwile zastanowi i pomyśli jak działają wzory skróconego mnożenia... po prostu chciałem Ci coś pokazać co zaraz może Ci się przydać.

PS a na teorii miary było już o mierzalności iloczynu funkcji mierzalnych?

@Niepokonana, specjalnie dla Ciebie, bo boisz się prostych rzeczy:
`4xy=(x+y)^2-(x-y)^2` Inna sprawa, to że rozwiązanie Psiaczka jest prostsze i ładniejsze