Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} }\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} }\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2 ^{-} } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} }\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{+} } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} }\)

Jakieś własne pomysły?

a) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} = \frac{-4}{2} = -2 }\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} = \lim_{x \to - \infty } \frac{x ^{2}(1- \frac{4}{x ^{2} } ) }{x ^{2} (1- \frac{3}{x}+ \frac{2}{x ^{2} }) } = 1}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2 ^{-} } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} = \lim_{x \to 2 ^{-} } \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)} = \lim_{x \to 2 ^{-} } \frac{x+2}{x-1} = 4 }\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{+} } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} = \frac{0}{12} = 0 }\)

Takie mam podejrzenia co do rozwiązań i zastanawiam się w jaki sposób lewostronność i prawostronność granic wpływa na rozwiązanie i czy te przykłady miałyby inne rozwiązania gdyby granice prawostronne zamienić na lewostronne i vice versa.

d) ?

OrangeBagel20 pisze: 19 gru 2022, o 15:38 a) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} = \frac{-4}{2} = -2 }\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} = \lim_{x \to - \infty } \frac{x ^{2}(1- \frac{4}{x ^{2} } ) }{x ^{2} (1- \frac{3}{x}+ \frac{2}{x ^{2} }) } = 1}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2 ^{-} } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} = \lim_{x \to 2 ^{-} } \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)} = \lim_{x \to 2 ^{-} } \frac{x+2}{x-1} = 4 }\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{x \to -2 ^{+} } \frac{x ^{2}-4 }{x ^{2} -3x+2} = \frac{0}{12} = 0 }\)

No i dobrze.

OrangeBagel20 pisze: 19 gru 2022, o 15:38 Takie mam podejrzenia co do rozwiązań i zastanawiam się w jaki sposób lewostronność i prawostronność granic wpływa na rozwiązanie

W tych przykładach - w żaden. Chodzi raczej o to, czy odróżniasz \(\displaystyle{ 2^-}\) od \(\displaystyle{ -2}\)...

OrangeBagel20 pisze: 19 gru 2022, o 15:38 czy te przykłady miałyby inne rozwiązania gdyby granice prawostronne zamienić na lewostronne i vice versa.

Miałyby te same rozwiązania.

JK