Trzeba zatem rozwiązać to zadanie korzystając jedynie z dostępnych nam metod, czyli w tym wypadku
bez używania wzorów, których pytający nie zna, a nie iść tylko na łatwiznę odsyłając pytającego do gotowych wzorów. Trzeba wyjść poza schematy.
Wczoraj rozwiązałem ten układ równań, przy pomocy pojęcia pola prostokąta. Oto:
CIEKAWE ROZWIĄZANIE TEGO ZADANIA:
Za
\(\displaystyle{ 5}\) podstawiamy
\(\displaystyle{ x+y}\), a za
\(\displaystyle{ 6=5+1}\) podstawiamy
\(\displaystyle{ x \cdot y}\), i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x \cdot y= x+y+1; \ \ }\) (*):
Ponieważ
\(\displaystyle{ x \cdot y= 6 \neq 0}\), więc
\(\displaystyle{ x \neq 0}\) i
\(\displaystyle{ y \neq 0}\).
Nie może być
\(\displaystyle{ x<0}\), bo wtedy, ponieważ mamy
\(\displaystyle{ x+y=5}\), więc
\(\displaystyle{ y>5}\), a zatem
\(\displaystyle{ 6=x \cdot y<0}\), czyli
\(\displaystyle{ 6<0}\)- sprzeczność.
A zatem musi być
\(\displaystyle{ x>0}\).
Z podobnych przyczyn musi być
\(\displaystyle{ y>0.}\)
Musi być
\(\displaystyle{ x>1}\), bo gdyby było
\(\displaystyle{ x \le 1}\), to
\(\displaystyle{ 6x \le 6}\), a zatem ponieważ
\(\displaystyle{ x>0}\), więc
\(\displaystyle{ y= \frac{6}{x} \ge 6}\), a ponieważ
\(\displaystyle{ x+y=5}\), więc
\(\displaystyle{ x \le -1}\), a
\(\displaystyle{ x>0}\)- sprzeczność.
Jeśli
\(\displaystyle{ y \le 1}\), to podobnie
\(\displaystyle{ x \ge 6}\), a zatem
\(\displaystyle{ y \le -1}\), a mamy
\(\displaystyle{ y>0}\)- sprzeczność.
Wobec czego
\(\displaystyle{ x>1}\), i
\(\displaystyle{ y>1.}\)
Wobec czego w prostokącie o wymnarach
\(\displaystyle{ x \times y}\), możemy zmieścić taki pas poziomy o wysokości
\(\displaystyle{ 1}\) i możemy w nim zmieścić pas pionowy o szerokości
\(\displaystyle{ 1}\), oto ilustracja tego faktu:
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ x \cdot y= x+y+1}\), więc pole zaciemnionego obszaru wynosi dokładnie
\(\displaystyle{ 6- x \cdot 1- y \cdot 1+1=2.}\)
Jeśli
\(\displaystyle{ x,y}\) są liczbami całkowitymi, to mamy tylko dwie możliwości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3,\\ y=2; \end{cases}}\) lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3,\\ x=2;\end{cases} }\)
gdyż wtedy taki prostokąt można podzielić na sieć kwadratów o boku
\(\displaystyle{ 1}\), a ponieważ jedyne możliwe rozkłady na czynniki liczby
\(\displaystyle{ 2}\) (na dwa czynniki), to
\(\displaystyle{ 2=2 \cdot 1}\) i
\(\displaystyle{ 2= 1 \cdot 2}\), stąd są tylko dwie możliwości:
\(\displaystyle{ (x= 2+1\hbox{ i } y=1+1 )}\) lub
\(\displaystyle{ (x= 1+1 \hbox{ i } y= 2+1).}\)
Zauważmy, że jeśli para
\(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) spełnia ten układ równań, to spełnia ją również para
\(\displaystyle{ \left( y,x\right) }\), czyli para powstała po zamianie miejscami współrzędnych pary wejściowej. Wynika to łatwo z przemienności dodawania oraz z przemienności mnożenia.
Jeśli
\(\displaystyle{ x}\) nie jest liczbą całkowitą, tzn. część ułamkowa liczby
\(\displaystyle{ x}\) jest równa pewnej liczbie
\(\displaystyle{ a \in \left( 0,1\right).}\) Wtedy, ponieważ
\(\displaystyle{ x+y}\) jest liczbą całkowitą równą
\(\displaystyle{ 5}\), więc część ułamkowa liczby
\(\displaystyle{ y}\) musi być równa
\(\displaystyle{ \left( 1-a\right)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \left( 1-a\right) \in \left( 0,1\right). }\)
Rozważmy najpierw sytuację, gdy część całkowita liczby
\(\displaystyle{ x}\) wynosi co najmniej dwa.
Jeśli ta część całkowita jest równa
\(\displaystyle{ 2}\), to
\(\displaystyle{ x<3}\):
Mamy
\(\displaystyle{ y>1}\), więc jeśli część całkowita liczby
\(\displaystyle{ y}\) jest równa
\(\displaystyle{ 1}\), to
\(\displaystyle{ y<2}\), a zatem
\(\displaystyle{ 6=x \cdot y<2x < 2 \cdot 3= 6}\), czyli
\(\displaystyle{ 6<6}\)- sprzeczność.
A jeśli część całkowita liczby
\(\displaystyle{ y}\) jest równa
\(\displaystyle{ 2}\), wtedy ponieważ pole całego prostokąta wynosi
\(\displaystyle{ 6}\), a
\(\displaystyle{ (a \cdot 1) \cdot 2 + \left( 1-a\right) \cdot 1 \cdot 2=2 =6-4}\), więc pole obszaru zaznaczonego na poniższej ilustracji, tu pod pytajnikiem :
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
musi być równe
\(\displaystyle{ 0}\), a ponieważ
\(\displaystyle{ a>0}\) i
\(\displaystyle{ 1-a>0}\), więc jest to niemożliwe.
Część całkowita liczby
\(\displaystyle{ y}\) nie może być większa lub równa od
\(\displaystyle{ 3}\), gdyż wtedy pole całego prostokąta byłoby silnie większe od
\(\displaystyle{ 6}\)- sprzeczność.
Zauważmy, że jedna z liczb
\(\displaystyle{ x}\) i
\(\displaystyle{ y}\) musi być większa od
\(\displaystyle{ 2}\), gdyż gdyby obie liczby byłyby mniejsze lub równe
\(\displaystyle{ 2}\), to ich suma byłaby mniejsza lub równa od
\(\displaystyle{ 4}\), a ta suma wynosi
\(\displaystyle{ 5}\)-sprzeczność.
Ponieważ już rozważyliśmy sytuację gdy część całkowita liczby
\(\displaystyle{ x}\) jest równa
\(\displaystyle{ 2}\), to nie musimy rozważać przypadku gdy część całkowita liczby
\(\displaystyle{ y}\) jest równa
\(\displaystyle{ 2}\), gdyż gdybyśmy w takim przypadku otrzymali rozwiązanie układu- pewną parę
\(\displaystyle{ (x,y}\)) , to wiemy, że również para
\(\displaystyle{ \left( y,x\right)}\) byłaby rozwiązaniem, a wtedy część całkowita pierwszej współrzędnej pary byłaby równa
\(\displaystyle{ 2}\), i para
\(\displaystyle{ \left( y,x\right)}\) byłaby rozwiązaniem, a zbadaliśmy już takie przypadki, w których nie znaleźliśmy rozwiązań- a tu mamy rozwiązanie: parę
\(\displaystyle{ \left( y,x\right) }\)- sprzeczność.
Rozważmy teraz sytuację, gdy część całkowita liczby
\(\displaystyle{ x}\) jest równa
\(\displaystyle{ 3}\). Wtedy pole zaciemnionego obszaru na ilustracji:
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
wynosi
\(\displaystyle{ 2}\), a zatem:
\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( 1-a\right) + a \cdot \left( 1-a\right) =2}\),
skąd
\(\displaystyle{ -2a + a \cdot \left( 1-a\right) =0}\), skąd
\(\displaystyle{ a \cdot \left( 1-2-a\right)=0 }\), a zatem
\(\displaystyle{ a=0}\) lub
\(\displaystyle{ a=-1.}\)
Ponieważ mamy
\(\displaystyle{ a \in \left( 0,1\right)}\), to obydwa przypadki są niemożliwe.
Jeśli część całkowita liczby
\(\displaystyle{ y}\) jest równa
\(\displaystyle{ 3}\), to rozumujemy analogicznie jak powyżej.
(Zauważmy, zapomniałem dodać, że mamy pewną symetrię: jeśli część ułamkowa liczby
\(\displaystyle{ x}\) jest równa
\(\displaystyle{ a}\), wtedy część ułamkowa liczby
\(\displaystyle{ y}\) jest równa
\(\displaystyle{ \left( 1-a\right)}\), i wtedy
\(\displaystyle{ \left( 1-a\right) \in\left( 0,1\right),}\) i dla pary części ułamkowych
\(\displaystyle{ \left( 1-a, a\right) }\), mamy:
\(\displaystyle{ 1- \left( 1-a\right) = a}\), a więc mamy tu pewną symetrię tych części ułamkowych).
I nie może część całkowita liczby
\(\displaystyle{ x}\) być równa cztery, gdyż wtedy polowa obwodu tego prostokąta miałaby długość równą:
\(\displaystyle{ (4+\left( 1-a\right) )+ (1+a)=6 \neq 5= x+y.}\)
I, w podobny sposób:
Nie może część całkowita liczby
\(\displaystyle{ y}\) być równa cztery- w sposób podobny jak powyżej możemy wykluczyć taki przypadek.
Wobec czego jedynymi rozwiązaniami naszego układu równań są:
\(\displaystyle{ \left( 2,3\right)}\) i
\(\displaystyle{ \left( 3,2.\right).\square}\) 
Lubię rozumować.
(Nawiasem mówiąc: Mnożenie dwóch liczb rzeczywistych nie jest wcale takie proste, wykres powierzchni w
\(\displaystyle{ \RR^3}\), wykres powierzchni
\(\displaystyle{ z=x \cdot y}\), czyli wykres funkcji opisującej wartości mnożenia dwóch liczb rzeczywistych, jest trochę nietypowy, w tą sobotę trochę dumałem nad nim).
