Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie
\(\displaystyle{ 2x^2-(2m+7)x+m^2-3m+21=0}\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\), spełniające warunek \(\displaystyle{ x_1=2x_2}\). Zapisz obliczenia.

Jak ten cholerny warunek \(\displaystyle{ x_1=2x_2}\) zapisać za pomocą wzorów Vieta?

A muszą być wzory Viete'a?

JK

Zazwyczaj przy takich zadaniach są wzory Vieta, no ale jeśli nie to jak to inaczej ruszyć?

Bez nich - wiesz, jak wyglądają pierwiastki równania kwadratowego, prawda?

JK

max123321 pisze: 15 gru 2022, o 23:14
Jak ten cholerny warunek \(\displaystyle{ x_1=2x_2}\) zapisać za pomocą wzorów Vieta?

Jeśli koniecznie wzory Vieta, to można do obu stron równości \(\displaystyle{ x_1=2x_2}\) dodać \(\displaystyle{ x_2}\).

Nie rozumiem jak ten zabieg miałby pomóc w zastosowaniu wzorów Viète’a? Warunek \(\displaystyle{ g(x_1,x_2)=0}\) można zapisać w kontekście wzorów Viète’a, gdy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\) taka, że \(\displaystyle{ f(x_1+x_2,x_1x_2)=g(x_1,x_2)}\). Widać, że \(\displaystyle{ f}\) jest symetryczna względem zmiennych \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) to znaczy zmiana ich kolejności nie wpływa na wartość \(\displaystyle{ f}\). Zatem \(\displaystyle{ g}\) też musi być symetryczna. Tyle, że tu \(\displaystyle{ g(x_1,x_2)=x_1-2x_2}\) i nie jest to funkcja symetryczna. Więc jakiekolwiek próby zastosowania wzorów Viète’a zakończą się niepowodzeniem.

Janusz Tracz pisze: 18 gru 2022, o 14:54Więc jakiekolwiek próby zastosowania wzorów Viète’a zakończą się niepowodzeniem.

Myślę, że jakiekolwiek próby zastosowania TYLKO wzorów Viete'a zakończą się niepowodzeniem.

JK

Janusz Tracz pisze: 18 gru 2022, o 14:54 Więc jakiekolwiek próby zastosowania wzorów Viète’a zakończą się niepowodzeniem.

Widzę, że matematyka jeszcze Cię nie nauczyła pokory:

Skoro `x_1=2x_2`, to \(\displaystyle{ x_1+x_2=3x_2=\frac{2m+7}{2}}\)
Z tego samego powodu \(\displaystyle{ x_1x_2=2x_2^2=\frac{m^2-3m+21}{2}}\)

Podnosimy pierwsze równanie do kwadratu, rugujemy `x_2`, wyliczamy `m`, sprawdzamy czy spełnia.

Mamy dwa (bo wcześniej trzy - wzory + to z treści) równania :
\(\displaystyle{ 3x_2=\frac{2m+7}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 2x_2^2=\frac{m^2-3m+21}{2}}\)

[edit] Jak widać wyszedłem z wprawy w pisaniu i wyszło po czasie.