Matematyka.pl

Witam, mam do zbadania dwa szeregi i nie wiem jak się za nie zabrać.

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}+2}{ \sqrt{n ^{3} - 5 } } }\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{2}+3}{ \sqrt{n ^{5} + 5 } } }\)

warunek konieczny? kryterium ilorazowe

Nawiasem mówiąc pierwszy wyraz pierwszego szeregu nie ma sensu

W przykładzie nr 2 spróbowałam policzyć granicę do warunku koniecznego i utknęłam w tym momencie: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1+ \frac{3}{n ^{2} } }{ \sqrt{n+ \frac{3}{n ^{4} } } }}\) . W jaki sposób kontynuować? Jeżeli podstawię pod n \(\displaystyle{ \infty}\) to wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \infty } }\) czyli 0 i wtedy warunek konieczny nie rozstrzyga

Bo w przypadku 2 akurat warunek konieczn jest spełniony. A gdybyś miała wybrać `\alpha` takie, że wyrazy drugiego szeregu są prawie takie jak `n^{\alpha}`, to na jakie `\alpha` byś postawiła?

Nie do końca rozumiem. Dalej mówimy o warunku koniecznym czy o kryterium ilorazowym i o co chodzi z \(\displaystyle{ n ^{ \alpha } }\) równym wyrazom drugiego szeregu?

Miałęm nadzieję, że z pierwszym przykładem sobie poradziłaś.

Mowa o drugim. Nie czytasz uważnie. Nigdzie nie napisałem o równości.

Gdybyś miała wybrać `\beta` takie, że `n^2+3\approx n^\beta`, to na co padłby twój wybór?

Gdybyś miała wybrać `\gamma` takie, że `\sqrt{n^5+5}\approx n^\gamma`, to co byś wybrała?

Wybrałabym \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) równe 3 ale im większe n tym bardziej zbliża się do 2

Naprawdę uważasz, że `10^2+3\approx 1000`???

Dla n = 10 \(\displaystyle{ , \alpha }\) jest już bliższa dwójce.

A dla jeszcze większych? Pamiętaj, że powinnaś się zdecydować ja jedno `\alpha` dobre dla wszystkich dużych `n`

No to w takim razie wybrałabym 2

OK. Matematycy mówią, że `n^2+3` jesr rzędu `n^2`.
teraz wymyśl wykładnik dla mianownika

Dla wykładnika będzie 2,5

OK. Zatem iloraz będzie miał wykładnik???

\(\displaystyle{ \frac{4}{5} }\) ?