Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{\text{tgh}(n)}{n ^{ \frac{5}{6} } }}\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{\arctg(n)}{n ^{ \frac{5}{3} } }}\)

\(\displaystyle{ (a)}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \text{tgh}\, n\to 1}\) to od pewnego momentu będzie
Zatem mamy rozbieżność.

\(\displaystyle{ \left( b\right) }\) wystarczy zauważyć, że
Z kryterium porównawczego mamy zbieżność.

Czyli jeżeli pomnożymy szereg Dirichleta \(\displaystyle{ {\frac{1}{n ^{ \frac{5}{6} }}}}\) który jest rozbieżny przez jakąś liczbę, na przykład \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) albo \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) to ten szereg dalej będzie rozbieżny?

A czemu Cię to dziwi? Znasz definicję zbieżności szeregu?

Tylko się upewniałem, w każdym razie dziękuję za pomoc

Tak. To jest raczej oczywiste, że pomnożenie przez stałą \(\displaystyle{ \alpha }\) \(\displaystyle{ \left( \neq 0\right) }\) ciągu \(\displaystyle{ S}\) którego granica nie istnieje nie zmieni faktu nieistnienia granicy \(\displaystyle{ \alpha S}\). To znaczy Jeśli granica \(\displaystyle{ \left\{ S_n\right\}_{n=1}^{ \infty } }\) nie istnieje to granica \(\displaystyle{ \left\{ \alpha S_n\right\}_{n=1}^{ \infty } }\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\) też nie istnieje. Aby to wykazać musimy udowodnić, że


Ustalmy więc \(\displaystyle{ g\in\RR}\). Ponieważ granica \(\displaystyle{ \left\{ S_n\right\}_{n=1}^{ \infty } }\) nie istnieje to istnieje taka dodatnia liczba \(\displaystyle{ \epsilon_{g, \alpha }}\), że \(\displaystyle{ (\forall N\in\NN)(\exists n>N) \left| S_n- \frac{g}{ \alpha } \right| \ge \epsilon_{g, \alpha } }\). My jednak kładziemy \(\displaystyle{ \epsilon=\left| \alpha \right|\epsilon_{g, \alpha } }\). Ustalany teraz \(\displaystyle{ N\in \NN}\) i wskazujemy palcem na \(\displaystyle{ n>N}\) takie, że \(\displaystyle{ \left| S_n- \frac{g}{ \alpha } \right| \ge \epsilon_{g, \alpha }}\) zatem zachodzi \(\displaystyle{ \left| \alpha S_n-g\right| \ge \epsilon }\).

Udało się więc dla uprzednio ustalonych \(\displaystyle{ g\in \RR}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\) dobrać \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) taki, że \(\displaystyle{ (\forall N\in\NN)(\exists n>N)\left| \alpha S_n-g\right| \ge \epsilon}\) wszak wybierając dowolny \(\displaystyle{ N}\) jawnie wskazaliśmy \(\displaystyle{ n>N}\), że zaszło \(\displaystyle{ \left| \alpha S_n-g\right| \ge \epsilon}\).

Co ciekawe (choć mało ekscytujące) ten fakt daje się odwrócić za darmo. Udowodnimy, że dla \(\displaystyle{ \alpha }\) \(\displaystyle{ \left( \neq 0\right) }\) mamy


Zatem mamy też


czyli