Matematyka.pl

Znajdź okres zasadniczy funkcji \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) danej wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=|\cos 3x +\sin 3x|-|\cos 3x - \sin 3x|.}\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Opuść wartości bezwzględne w zależności od tego czy \(\displaystyle{ \cos 3x+\sin3x\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 3x -\sin 3x \geq 0}\).

Ładne zadanko:
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{(\cos 3x+\sin 3x)^2}-\sqrt{(\cos 3x+\sin 3x)^2}=\sqrt{1+\sin 6x}-\sqrt{1-\sin 6x}}\)
Stąd widać bez liczenia że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) jest okresem funkcji `f`

Ponieważ `f` jest dodatnia dla `x\in(0,\pi/6)` i ujemna dla `x\in(\pi/6,\pi/3)`, nie może mieć okresu mniejszego niż `\pi/3`.

ENG-FRA 1:2

Zgadzam się, że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} }\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ f}\) bo \(\displaystyle{ f(x+ \frac{\pi}{3})= }\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{1+\sin(6x+2\pi)}- \sqrt{1-\sin(6x+2\pi)}=\sqrt{1+\sin6x}- \sqrt{1-\sin6x}=f(x) }\), ale jak uzasadnić, że dla \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{6}) }\) funkcja jest dodatnia, a dla \(\displaystyle{ x \in ( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}) }\) jest ujemna?

A z tego, że Francja wygrała to nie jestem zbytnio zadowolony

Weź trochę pomyśl zanim zadasz pytanie.

To może tak to uzasadnić: Skoro \(\displaystyle{ \sin x}\) jest dodatni w przedziale \(\displaystyle{ (0,\pi)}\) to \(\displaystyle{ \sin 6x}\) jest dodatni w przedziale \(\displaystyle{ (0, \frac{\pi}{6}) }\). To chyba nie wymaga komentarza. No, a zatem \(\displaystyle{ \sqrt{1+\sin 6x}>1 }\), a \(\displaystyle{ \sqrt{1-\sin 6x}<1 }\), zatem \(\displaystyle{ \sqrt{1+\sin 6x}-\sqrt{1-\sin 6x}>0}\). I analogicznie w przedziale \(\displaystyle{ ( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})}\) jest \(\displaystyle{ \sin 6x<0}\) czyli \(\displaystyle{ \sqrt{1+\sin 6x}<1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{1-\sin 6x}>1}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt{1+\sin 6x}-\sqrt{1-\sin 6x}<0}\). Może być takie uzasadnienie?

Czy ty musisz o wszystko pytać? Naprawdę nie umiesz sam ocenić swojego rozumowania?