Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą takimi liczbami całkowitymi, że \(\displaystyle{ a \sqrt{2}+b \sqrt{3} +c \sqrt{6}=0 }\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

To dość standardowe rachunki. Spróbuj sam

No, ale jak zacząć? Do czego dążyć? Próbowałem to stronami podnosić do kwadratu, ale niewiele mi z tego wyszło.

pierwiastki nie mogą być ujemne

`a\sqrt2+b\sqrt3+c\sqrt6=0` to to samo co `a\sqrt2+b\sqrt3=-c\sqrt6`

Paradygmatyczny pisze: ↑9 gru 2022, o 19:31 pierwiastki nie mogą być ujemne

Możesz rozwinąć myśl. Nie widzę jak to miało by pomóc.

max123321 pisze: ↑9 gru 2022, o 17:12 Próbowałem to stronami podnosić do kwadratu, ale niewiele mi z tego wyszło.

Podniesienie do kwadratu to dobry pomysł. Ale najpierw załóż nie wprost, że takie \(\displaystyle{ a,b,c\in \ZZ}\) istnieją i co najmniej jedna nie jest zerem. Oczywiście jeśli już to by się miało udać to każda z nich nie mogła by być zerem więc wlog niech \(\displaystyle{ a,b,c\in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\} }\). Wtedy


podniesienie tego do kwadratu natychmiast doprowadzi do sprzeczności typu \(\displaystyle{ \sqrt{2}\in \QQ }\).

Swoją drogą zadanie można mocno uogólnić. Dowód nie będzie już taki prosty ale generalnie są znane twierdzenia mówiące o postaci liczb które tworzą układy liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ (\RR,+,q\cdot)_{q\in\QQ}}\). Square roots have no unexpected linear relationships, July 2, 2009 by Qiaochu Yuan.

Ok w takim razie mam na to pewien pomysł. Powiedzcie mi czy tak jest dobrze:
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}+b \sqrt{3}=-c \sqrt{6} }\), podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 2a^2+2 \sqrt{6}ab+3b^2=6c^2 }\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{6}ab=6c^2-2a^2-3b^2 }\)
I teraz jeśli \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i \(\displaystyle{ b \neq 0}\) to
\(\displaystyle{ \sqrt{6}= \frac{6c^2-2a^2-3b^2}{2ab} }\)
i mamy sprzeczność. Zatem przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest równa zero.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b \neq 0}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ 3b^2=6c^2}\)
\(\displaystyle{ b^2=2c^2}\)
No i mamy sprzeczność, bo po lewej stronie w rozkładzie jest parzysta liczba dwójek, a po prawej nieparzysta.
No to załóżmy, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i \(\displaystyle{ b=0}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ 2a^2=6c^2}\)
\(\displaystyle{ a^2=3c^2}\)
No i znowu sprzeczność, po lewej parzysta, a po prawej nieparzysta liczba trójek. Zatem musi być
\(\displaystyle{ a=b=0}\), no ale to wtedy \(\displaystyle{ c=0}\) i koniec. Czy tak jest dobrze?

Dodano po 1 dniu 46 minutach 34 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć?

Ja się wypowiem. Wrzucileś zadanie ze zbioru zadań CKE do nowej matury rozszerzonej. Jest tam wzorcowe rozwiązanie. Nie rozumiesz go czy nie podoba ci się ?

Ja nawet nie wiedziałem, że to jest zadanie ze zbioru zadań CKE. Ok, ale to moje rozwiązanie jest w sumie analogiczne do tego wzorcowego, zgadza się?