Matematyka.pl

Pokazać, że \(\displaystyle{ [1, 2)}\) nie jest ani otwarty ani domknięty w \(\displaystyle{ \RR}\). Pokazać, że ten zbiór jest otwarty w pewnej innej przestrzeni z metryką indukowaną z \(\displaystyle{ \RR}\), a domknięty w jeszcze innej przestrzeni.

No i jaki masz z tym problem?

JK

Jako, że od pół roku nic się tutaj od autora wątku nie pojawiło a ja nie jestem za dobry w dowodach z zakresu topologii (o czym chyba się co poniektórzy zdążyli już przekonać), to powiem tylko to co pamiętam lub mam w notatkach mając jednocześnie nadzieję, że nic nie pomylę. Podam definicje kuli otwartej i kuli domkniętej, aby następnie zastosować je do wprowadzenia definicji zbioru otwartego i domkniętego jakie ja znam, czyli w których zakładamy, że przestrzeń jest metryczna, ponieważ autor wspomniał o metrykach. Zresztą dla topologicznych i tak już niestety zdążyłem zapomnieć...

Kulą otwartą \(\displaystyle{ K(x, r)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) będziemy nazywali zbiór \(\displaystyle{ \{y \in X: d(x, y) < r\}}\). Analogicznie definiujemy kulę domkniętą z tym, że dopuszczamy także równość metryki (którą utożsamiamy z odległością) z promieniem.

Niech \(\displaystyle{ (X, d)}\) będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) nazywamy zbiorem otwartym w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), gdy dla każdego punktu \(\displaystyle{ x \in A}\) istnieje \(\displaystyle{ r > 0}\) takie, że \(\displaystyle{ K(x, r) \subset A}\).

Okej, zapomniałem jak można by analogicznie do zbioru otwartego wprowadzić domknięty, bo tak rzadko się tego używa, więc podam definicję, która jest stosowana o wiele częściej (przynajmniej tak wynika z mojego doświadczenia).

Zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) nazywamy domkniętym jeśli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.

Mam nadzieję, że nic nie pomyliłem, ale proszę brać ten post z pewną rezerwą, ponieważ nigdy orłem z topologii nie byłem.

Napisałeś dużo słów, ale żadnej konkretnej treści. Jeżeli już napisałeś w takim wątku, to wypadało przynajmniej rozwiązać to zadanie.

JK