Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ NWD(m,n) + NWD(m+1,n+1)+ NWD(m+2,n+2 ) \leq 2|m-n|+1,}\) gdy \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są różne.

Kiedy jest równość ?

Niech:

\(\displaystyle{ n>m}\)

Widać tu, że:

\(\displaystyle{ (n,m)=(n, n-m) \le \left| n-m\right| }\)

Możemy założyć, że:

\(\displaystyle{ n \le 2m}\)

Bo jeżeli:

\(\displaystyle{ n>2m}\)

Po odjęciu wyjdzie na to samo


\(\displaystyle{ (n+1, m+1)=(m+1,n-m)}\)

\(\displaystyle{ (n+2, m+2)=(m+2,n-m)}\)

Przynajmniej jedna prawa strona musi być równa jeden

Druga sprawa to taka, że dla.: \(\displaystyle{ x<y}\):

\(\displaystyle{ (x,y) \le x}\)


Co daje:

\(\displaystyle{ (n,m)+(n+1,m+1)+(n+2,m+2)=(n-m,m)+(n-m,m+1)+(n-m,m+2)=2\left| n-m\right| +1 }\)

cnd...

Dodano po 47 minutach 56 sekundach:
Równanie zachodzi dla:

\(\displaystyle{ (n,m)=(2,4)}\)

Może ktoś coś jeszcze dołoży...

Dodano po 15 godzinach 18 minutach 36 sekundach:
Tam powinno być:

\(\displaystyle{ \le }\)