Matematyka.pl

Jak będziesz mnożyć element przez wszystkie elementy grupy, to zawsze dostaniesz całą grupę. Żeby policzyć warstwy mnożysz element przez elementy podgrupy.

aa1 pisze: ↑6 gru 2022, o 13:40 Na przykład warstwę lewostronną dla elementu \(\displaystyle{ (3,1,2)}\) policzyłam tak:
\(\displaystyle{ id\circ(3,1,2)=(3,1,2)}\)
\(\displaystyle{ (1,2)\circ(3,1,2)=(1,3)}\)
\(\displaystyle{ (1,3)\circ(3,1,2)=(2,3)}\)
\(\displaystyle{ (2,3)\circ(3,1,2)=(1,2)}\)
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ(3,1,2)=(2,3,1)}\)
\(\displaystyle{ (2,3,1)\circ(3,1,2)=id }\)

Czyli w ogóle nie zrozumiałaś definicji:

Jan Kraszewski pisze: ↑4 gru 2022, o 21:54warstwa lewostronna elementu \(\displaystyle{ g\in G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H<G}\): \(\displaystyle{ \{gh:h\in H\},}\)

W Twoim wypadku \(\displaystyle{ H=\{id,(3,1,2),(2,3,1)\}}\), a \(\displaystyle{ g=(3,1,2)}\). Spróbuj jeszcze raz zastosować definicję - masz dostać zbiór trzyelementowy.

JK

Czy teraz jest dobrze?
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ id=(3,1,2)}\)
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ (3,1,2)=(2,3,1)}\)
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ (2,3,1)=id}\)

Rachunki dobrze, ale warstwa to zbiór, a ja nie widzę tu żadnego zbioru.

JK

aa1 pisze: ↑6 gru 2022, o 15:03 Czy teraz jest dobrze?
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ id=(3,1,2)}\)
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ (3,1,2)=(2,3,1)}\)
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ (2,3,1)=id}\)

Chyba nie tak.
W drugim przykłądzie `3` przechodzi na `1` a potem `1` przechodzi na `2`, więc przy złożeniu `3` przechodzi na `2`, a nie na `1`.
Trzeci przykłąd też jest żle. Przecież `(2,3,1)=(3,1,2)`, więc złożenie obrotu o `60^\circ` ze sobą nie może dać identyczności

A dlaczego 3 przechodzi na 1? Mógłbyś to bardziej wyjaśnić/rozpisać?

Odwracam pytanie. Jak rozumiesz zapis `(3,1,2)`?

Że 3 przechodzi na 2, 2 na 1, 1 na 3.

.Nie. Ten zapis oznacza cykl `3\to 1\to 2\to 3`

To co Ty napisałeś, to
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}=(1,3,2)=(3,2,1)=(2,1,3)}\)

A jak to zapisać, bo jakoś tego nie widzę.

A umiesz rozkładać permutacje na cykle?

Czyli ten wynik, który wyjdzie ze składania permutacji, trzeba rozłożyć na cykle i wyjdzie jakaś symetria. Dobrze myślę?

Nie. Szczerze mówiąc nie wiem co myślisz gdy piszesz to, co piszesz.

Pytałem czy umiesz rozkładać permutacje na cykle i czy wiesz co to cykl?

No tak