Matematyka.pl

Znajdź wszystkie warstwy lewostronne i prawostronne grupy symetrii trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ S_{3}}\) względem podgrupy obrotów.

Czyli jak rozumiem \(\displaystyle{ S_{3}=\{id,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)\}}\) a \(\displaystyle{ H=\{(1,2,3),(1,3,2)\}}\)
Tylko nie wiem, co z tym dalej zrobić.

Opisz poprawnie `H`, to dalej będzie łatwo

Czy \(\displaystyle{ H=\{id,(3,1,2),(2,3,1)\}}\)?

Tak. Teraz wystarczy skorzystać z definicji (którą powinnaś znać):

warstwa lewostronna elementu \(\displaystyle{ g\in G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H<G}\): \(\displaystyle{ \{gh:h\in H\},}\)

warstwa prawostronna elementu \(\displaystyle{ g\in G}\) względem podgrupy \(\displaystyle{ H<G}\): \(\displaystyle{ \{hg:h\in H\}.}\)

JK

To nawet nie ma co liczyć - druga warstwa muszą być symetrie bo po prostu innych nie ma.

Żeby nie musieć liczyć, trzeba widzieć, dlaczego nie trzeba. Obawiam się, że to nie jest ta sytuacja.

To właśnie dlatego pytam, żeby się dowiedzieć.

Czyli tutaj jest składanie tych permutacji? I tak trzeba każdy z \(\displaystyle{ H}\) z każdym z \(\displaystyle{ S_3}\)?

aa1 pisze: ↑4 gru 2022, o 22:32Czyli tutaj jest składanie tych permutacji?

Tak.

aa1 pisze: ↑4 gru 2022, o 22:32I tak trzeba każdy z \(\displaystyle{ H}\) z każdym z \(\displaystyle{ S_3}\)?

Bierzesz jeden element \(\displaystyle{ S_3}\), a potem liczysz wszystkie jego złożenia z elementami \(\displaystyle{ H}\). Zbiór wyników to odpowiednia warstwa. Liczenia jest dość dużo (sześć elementów, dla każdego dwie warstwy - lewa i prawa), ale może jak trochę policzysz, to zauważysz jakąś prawidłowość.

Bo jak się trochę rozumie sytuację, to tu faktycznie nie ma co liczyć...

JK

A jak składam dwa obroty ze sobą to wychodzi Id, albo obrót, czyli to nie należy już do warstw?

A dlaczego?

JK

a4karo pisze: ↑4 gru 2022, o 22:04 To nawet nie ma co liczyć - druga warstwa muszą być symetrie bo po prostu innych nie ma.

Zasugerowałam się tym.

Czyli w każdej warstwie - zarówno lewostronnej i prawostronnej dla każdego elementu z \(\displaystyle{ H}\) dostajemy zbiór równy \(\displaystyle{ S_{3}}\)

aa1 pisze: ↑5 gru 2022, o 12:51Czyli w każdej warstwie - zarówno lewostronnej i prawostronnej dla każdego elementu z \(\displaystyle{ H}\) dostajemy zbiór równy \(\displaystyle{ S_{3}}\)

No skąd. Dalej nie rozumiesz pojęcia warstwy. Każda warstwa podgrupy \(\displaystyle{ H}\) jest takim "przesunięciem" \(\displaystyle{ H}\), więc w szczególności każda warstwa ma tyle samo elementów co \(\displaystyle{ H}\), czyli trzy.

Każda warstwa elementu z \(\displaystyle{ H}\) jest równa \(\displaystyle{ H}\) - zastanów się dlaczego.

JK

A mogę prosić o rozpisanie jednego przykładu, bo może coś źle liczę.

To pokaż, jak liczysz.

JK

Na przykład warstwę lewostronną dla elementu \(\displaystyle{ (3,1,2)}\) policzyłam tak:
\(\displaystyle{ id\circ(3,1,2)=(3,1,2)}\)
\(\displaystyle{ (1,2)\circ(3,1,2)=(1,3)}\)
\(\displaystyle{ (1,3)\circ(3,1,2)=(2,3)}\)
\(\displaystyle{ (2,3)\circ(3,1,2)=(1,2)}\)
\(\displaystyle{ (3,1,2)\circ(3,1,2)=(2,3,1)}\)
\(\displaystyle{ (2,3,1)\circ(3,1,2)=id }\)