Strona 1 z 1
Elementy grupy ilorazowej
: 3 gru 2022, o 21:21
autor: aa1
Wskazać elementy grupy ilorazowej\(\displaystyle{ \Phi(7)/H}\), gdzie \(\displaystyle{ H=\{1,8,13,20\}}\) oraz utworzyć tabelkę mnożenia w tej grupie.
\(\displaystyle{ \Phi}\) to jedności monoidu, czyli \(\displaystyle{ \Phi}\)\(\displaystyle{ =\{1,2,3,4,5,6\}}\)
Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak wyznaczać te elementy grupy?
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 3 gru 2022, o 21:59
autor: Janusz Tracz
aa1 pisze: ↑3 gru 2022, o 21:21
Wskazać elementy grupy ilorazowej
\(\displaystyle{ \Phi(7)/H}\), gdzie
\(\displaystyle{ H=\{1,8,13,20\}}\)
Na pewno? To da się dzielić przez nie podgrupę? Czy to jest jakiś dziwny zapis i należy elementy
\(\displaystyle{ H}\) traktować
\(\displaystyle{ \text{ mod }7}\) ? Wtedy to jest po prostu
\(\displaystyle{ \left\langle 6\right\rangle }\).I to by nawet miało jakiś tam sens wtedy bo
\(\displaystyle{ \left\langle 6\right\rangle \trianglelefteq \Phi(7) }\) dzięki czemu warstwy lewostronne i prawostronne
\(\displaystyle{ \Phi(7)}\) względem
\(\displaystyle{ \left\langle 6\right\rangle }\) to jeden i ten sam zbiór no i
\(\displaystyle{ \Phi(7)/\left\langle 6\right \rangle}\) to grupa. I można te warstwy jawnie wypisać
\(\displaystyle{ \Phi(7)/\left\langle 6\right\rangle = \left\{ a\{1,6\}: a\in \Phi(7) \right\} }\)
a działanie
\(\displaystyle{ \times }\) w grupie ilorazowej dane definicją:
\(\displaystyle{ a\left\{ 1,6\right\} \times b\left\{ 1,6\right\}=ab\left\{ 1,6\right\} }\).
PS być może nie rozumiem pytania ale wydaje się dziwnie sformułowane na starcie. Jeśli jednak dobrze interpretuję
\(\displaystyle{ H}\) to potem się jedynie korzysta z definicji.
PPS normalność podgrupy
\(\displaystyle{ \left\langle 6\right\rangle }\) w
\(\displaystyle{ \Phi(7)}\) jest oczywista bo każda podgrupa grupy abelowej jest normalna.
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 3 gru 2022, o 22:09
autor: aa1
To zadanie jest przepisane z książki, więc raczej jego treść jest poprawna. Czy mógłby mi Pan rozpisać jakiś przykład, bo za bardzo nie wiem jak się do tego zabrać.
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 3 gru 2022, o 22:59
autor: Janusz Tracz
aa1 pisze: ↑3 gru 2022, o 22:09
To zadanie jest przepisane z książki, więc raczej jego treść jest poprawna.
Nie twierdzę, że jest inaczej. Uważam jednak, że jest napisana dziwnie. Być może jest jakaś motywacja tej dziwności.
aa1 pisze: ↑3 gru 2022, o 22:09
Czy mógłby mi Pan rozpisać jakiś przykład, bo za bardzo nie wiem jak się do tego zabrać.
Jasne. Proponuję przejść na
ty forma
Pan w Internecie jest dziwna. Zanim cokolwiek matematycznego tu napiszę uprzedzam, że wciąż mam pewne obawy co do tego zadania. Ale jeśli przyjmujemy, że
\(\displaystyle{ H=\left\langle 6\right\rangle }\) to warstwy wyglądają tak:
\(\displaystyle{ \Phi(7)/\left\langle 6\right\rangle = \left\{ \left\{ 1,6\right\} , \left\{ 2,5\right\} , \left\{3,4 \right\} \right\}}\). I działania na nich określa wzór który podałem wcześniej. Spróbuj pokazać, że
\(\displaystyle{ \left\{ 1,6\right\} \times \left\{ 2,5\right\} = \left\{ 2,5\right\}}\) oraz, że
\(\displaystyle{ \left\{ 2,5\right\} \times \left\{ 3,4\right\}= \left\{1,6\right\}}\). I tak dalej można liczyć wszystkie kombinacje, aż się zrobi tabelkę działań.
PS może symbol
\(\displaystyle{ \times }\) nie był najrozsądniejszym wyborem na działanie w grupie ilorazowej.
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 3 gru 2022, o 23:05
autor: Jan Kraszewski
A jaka to książka?
JK
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 4 gru 2022, o 10:32
autor: arek1357
Treść tego zadania na początku jest całkowicie niezrozumiała i kaleka...Możliwe, że wyrwana jest z szerszego kontekstu, wtedy miałoby to jakieś uzasadnienie... A tak nie wiadomo co autor ma na myśli... Ja tam np. żadnego działania nie widzę...
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 4 gru 2022, o 10:34
autor: aa1
J. Rutkowski "Algebra abstrakcyjna w zadaniach"
Sorki, jednak
\(\displaystyle{ H=\{1,2,4\}}\) - pomieszałam dwa zadania.
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 4 gru 2022, o 10:57
autor: arek1357
Teraz to jasne:
Zadanie powinno brzmieć:
Znajdź Grupę ilorazową \(\displaystyle{ \Phi_{|H}}\) gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to grupa multiplikatywna modulo siedem a \(\displaystyle{ H}\) to podgrupa tej grupy:
\(\displaystyle{ H=\left\{ 1,2,4\right\} }\)
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 4 gru 2022, o 11:01
autor: Jan Kraszewski
aa1 pisze: ↑4 gru 2022, o 10:37
\(\displaystyle{ H=\{1,2,4\}}\) pomieszałam dwa zadania.
No tak lepiej...
Masz zatem grupę sześcioelementową, która ilorazujesz przez jej trzyelementową podgrupę normalną, zatem grupa ilorazowa ma dwa elementy. Jedną warstwą jest sama podgrupa, a drugą - reszta.
JK
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 4 gru 2022, o 15:53
autor: aa1
Bo w odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ \Phi(7)/H=\{H,3H\}}\), gdzie \(\displaystyle{ 3H=\{3,5,6\}}\) i nie wiem skąd to się wzięło...
Re: Elementy grupy ilorazowej
: 4 gru 2022, o 16:06
autor: Janusz Tracz
aa1 pisze: ↑4 gru 2022, o 15:53
Janusz Tracz pisze: ↑3 gru 2022, o 22:59
A jeśli
\(\displaystyle{ H=\{1,2,4\}}\), to jak to będzie wyglądać?
Ja nigdy czegoś takiego nie powiedziałem. Więc nie rozumiem skąd ten cytat (rozumiem, że pomyłka w kodzie). W zasadzie to otrzymałaś już dwie odpowiedzi. Pokazałem wcześniej jak zrobić to zadanie przy innym
\(\displaystyle{ H}\). Potem jak podejrzewałem okazało się, że nie o takie
\(\displaystyle{ H}\) chodziło i JK napisał co trzeba zrobić. Przy czym warto zauważyć, że sposób rozwiązywania się nie zmienił. Zmieniło się jedynie
\(\displaystyle{ H}\). Czy potrenowałaś polecane przykłady:
Janusz Tracz pisze: ↑3 gru 2022, o 22:59
Spróbuj pokazać, że
\(\displaystyle{ \left\{ 1,6\right\} \times \left\{ 2,5\right\} = \left\{ 2,5\right\}}\) oraz, że
\(\displaystyle{ \left\{ 2,5\right\} \times \left\{ 3,4\right\}= \left\{1,6\right\}}\). I tak dalej można liczyć wszystkie kombinacje, aż się zrobi tabelkę działań.
Bo to jednak daje pewne wyobrażenie. Co do zadania to fakt w odpowiedzi jest
\(\displaystyle{ \left\{ H,3H\right\} }\) bo
\(\displaystyle{ 3H=\left\{ 3,6,12\right\} =\left\{ 3,5,6\right\} }\). I jest to druga brakująca warstwa. Bo pierwszą oczywistą jest samo
\(\displaystyle{ H}\). I w zasadzie to jest już konic tego zadania. Została tabelka działań ale wciąż zachęcam do policzenia tego samodzielnie zgodnie z regułą o której już pisałem 2 razy.