Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{2z-1}{z+1} dz }\), gdzie C: \(\displaystyle{ \left| z \right|= 2 }\)

Według odpowiedzi, wynik to \(\displaystyle{ -6 \pi i}\), ale wychodzi mi inaczej i nie wiem, gdzie jest błąd, zamieszczam moje rozwiązanie:


Funkcja podcałkowa jest analityczna w domkniętym obszarze ograniczonym z zewnątrz C, a wewnątrz okręgami: \(\displaystyle{ k_{1} = -1 }\) oraz \(\displaystyle{ k _{2} = \frac{1}{2} }\).
Czyli moja całka będzie równa: \(\displaystyle{ 0 + \int_{k _{1} }^{} \frac{2z-1}{z+1} + \int_{k _{2} }^{} \frac{2z-1}{z+1} }\)

Pierwsza całka (po \(\displaystyle{ k _{1} =-1}\)):
Wzór całkowy Cauchy'ego: \(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ f(z) = 2z-1; z _{0} = -1; n = 0 }\)
czyli: \(\displaystyle{ \frac{2 \pi i}{0!} * -1 = -2 \pi i }\)

Druga całka (po \(\displaystyle{ k _{2} = \frac{1}{2} }\)):
Jeśli pierwsza całka jest dobrze, to tu powinno wyjść\(\displaystyle{ -4 \pi i}\).
Próbuję na różne sposoby, ale nie widzę możliwości, jak tu ma wyjść \(\displaystyle{ -4 \pi i}\), skoro \(\displaystyle{ z _{0} = \frac{1}{2} }\) i od tego \(\displaystyle{ z_{0}}\) zależy wynik.

forest99 pisze: 3 gru 2022, o 10:53 Funkcja podcałkowa jest analityczna w domkniętym obszarze ograniczonym z zewnątrz C, a wewnątrz okręgami: \(\displaystyle{ k_{1} = -1 }\) oraz \(\displaystyle{ k _{2} = \frac{1}{2} }\).

Nie jestem w stanie zrozumieć o czym tu mówisz. Brzmi to dość nieprawdziwie i (no offence) bezsensownie. Funkcja którą całkujesz jest meromorficzna i ma biegun \(\displaystyle{ z_0=-1}\). Ten biegun jest otoczony krzywą \(\displaystyle{ C}\) i jest pierwszego rzędu. Więc można zastosować tw Cauchy’ego dające


Twoje rozważania nad \(\displaystyle{ 1/2}\) są dziwne i wyglądają tak jakbyś sądziła, że tam jest biegun? Tam nie ma punktu osobliwego.

Nie było pojęcia funkcji mefomorficznej na wykładzie ani w zbiorze zadań Zdzisława Rojka "Matematyka - funkcje analityczne w zadaniach", z którego korzystamy. Staram się iść zgodnie z przykładami do rozdziału i tak, myślałam że w \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) jest biegun, bo licznik się dla tego punktu zeruje.
Co do wzoru całkowego, to już widzę że źle go zastosowałam, a co do \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) to w takim razie, tylko miejsca zerowe mianownika funkcji są biegunami?

forest99 pisze: 3 gru 2022, o 11:41 Nie było pojęcia funkcji mefomorficznej na wykładzie ani w zbiorze zadań Zdzisława Rojka "Matematyka - funkcje analityczne w zadaniach"

Może nie był takiej nazwy ale pojęcie pewnie było. Funkcja mefomorficzna to taka która jest ładna poza pewnymi punktami \(\displaystyle{ \CC}\) . Bardziej formalnie jest to iloraz funkcji holomorficznych.

forest99 pisze: 3 gru 2022, o 11:41 myślałam że w \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) jest biegun, bo licznik się dla tego punktu zeruje.

zerowanie się licznika to nic złego. Wtedy funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) (w tym przypadku).

forest99 pisze: 3 gru 2022, o 11:41 Co do wzoru całkowego, to już widzę że źle go zastosowałam, a co do \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) to w takim razie, tylko miejsca zerowe mianownika funkcji są biegunami?

Trudno mówić o poprawnym zastosowaniu wzoru całkowego do \(\displaystyle{ 1/2}\). Dla \(\displaystyle{ 1/2}\) ten wzór w ogóle się nie stosuje. Punkt \(\displaystyle{ 1/2}\) nie jest biegunem i w ogóle nie ma co go podstawiać do wzoru całkowego. Tak biegunami są miejsca zerowe mianownika. To tam występuje coś w rodzaju dzielenia przez \(\displaystyle{ 0}\) i to w ich okolicy funkcja jest nieograniczona.