Matematyka.pl

Wyznaczyć wielomiany \(\displaystyle{ P}\) dla których

\(\displaystyle{ P(x)P(2x^2+1) = P(x^2)(P(2x+1)-4)}\)

gdy \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)

Mam pewne przemyślenia co do tego zadania, wykazałem, że jeżeli \(\displaystyle{ P(x)}\) ma pierwiastki to są one:

\(\displaystyle{ 0, \pm 1, - \frac{1}{2} }\)

Ale przy takich założeniach dochodzę do sprzeczności, że takiego wielomianu nie ma, a może ktoś inny ma coś lepszego i byłbym ciekawy zobaczyć jakie są propozycje do tego skądinąt ciekawego zadania...

Każdy wielomian stały jest OK

W jaki sposób wielomian \(\displaystyle{ P(x)=1}\) miałby być dobry? Zawsze wydawało mi się, że \(\displaystyle{ 1\cdot 1\ne 1\cdot (1-4).}\)

Oj faktycznie, ciapa ze mnie.

\(\displaystyle{ \pm 1, 0, - \frac{1}{2} }\)

Chodziło mi o to, że są to pierwiastki jakiegoś wielomianu, bo wykazałem, że jeżeli jakiś nietrywialny wielomian miałby spełniać to równanie to
powinien mieć takie pierwiastki, ale przy tym założeniu i przy dalszych obliczeniach dochodziłem do sprzeczności i wychodziło mi, że tylko wielomian zerowy spełnia to równanie, ale nie chce mi się w to wierzyć i dlatego się pytam czy może ktoś to liczył i znalazł coś sensownego...

Podstawiałem coś takiego:

\(\displaystyle{ P(x)=x^k(x-1)^l(x+1)^l(x+ \frac{1}{2} )^s}\)

Daje to potem sprzeczność...