Dla każdej liczby naturalnej n
: 1 gru 2022, o 00:39
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) suma pierwszych \(\displaystyle{ n}\) wyrazów pewnego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) wynosi \(\displaystyle{ 3n^2}\).Wykaż, że ciąg ten jest arytmetyczny.
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Jeśli ten ciąg miałby być arytmetyczny to różnica każdych dwóch sąsiednich wyrazów musi być taka sama czyli stała. Czyli wyrażenie \(\displaystyle{ x_{n+1}-x_n}\) powinno być stałe dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\). Niech \(\displaystyle{ S_n=3n^2}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ x_{n+1}=S_{n+1}-S_n}\) i \(\displaystyle{ x_n=S_n-S_{n-1}}\) czyli:
\(\displaystyle{ x_{n+1}-x_n=S_{n+1}-S_n-(S_n-S_{n-1})=S_{n+1}-2S_n+S_{n-1}=3(n+1)^2-2 \cdot 3 \cdot n^2+3(n-1)^2=}\)
\(\displaystyle{ =3n^2+6n+3-6n^2+3n^2-6n+3=6}\). Jest to stała liczba niezależna od \(\displaystyle{ n}\), a więc ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) musi być arytmetyczny.
Czy tak jest dobrze?
Dodano po 3 dniach 22 godzinach 4 minutach 47 sekundach:
Czy ktoś może to potwierdzić?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Jeśli ten ciąg miałby być arytmetyczny to różnica każdych dwóch sąsiednich wyrazów musi być taka sama czyli stała. Czyli wyrażenie \(\displaystyle{ x_{n+1}-x_n}\) powinno być stałe dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\). Niech \(\displaystyle{ S_n=3n^2}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ x_{n+1}=S_{n+1}-S_n}\) i \(\displaystyle{ x_n=S_n-S_{n-1}}\) czyli:
\(\displaystyle{ x_{n+1}-x_n=S_{n+1}-S_n-(S_n-S_{n-1})=S_{n+1}-2S_n+S_{n-1}=3(n+1)^2-2 \cdot 3 \cdot n^2+3(n-1)^2=}\)
\(\displaystyle{ =3n^2+6n+3-6n^2+3n^2-6n+3=6}\). Jest to stała liczba niezależna od \(\displaystyle{ n}\), a więc ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) musi być arytmetyczny.
Czy tak jest dobrze?
Dodano po 3 dniach 22 godzinach 4 minutach 47 sekundach:
Czy ktoś może to potwierdzić?