Pokaż, że ciąg
: 1 gru 2022, o 00:06
Pokaż, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b} }\) jest arytmetyczny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow }\) ciąg \(\displaystyle{ a^2,b^2,c^2}\) jest arytmetyczny.
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Dodano po 22 minutach 6 sekundach:
A jak tak w sumie myślę to mam pewien pomysł. Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Skoro ten pierwszy ciąg jest arytmetyczny to różnica sąsiednich wyrazów musi być ta sama czyli musi zachodzić równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{c+a}- \frac{1}{b+c}= \frac{1}{a+b}- \frac{1}{c+a} }\) co jest równoważne temu
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)-(a+b)(c+a)=(b+c)(c+a)-(a+b)(b+c)}\) a to jest równoważne temu
\(\displaystyle{ 2(ab+ac+b^2+bc)-(ac+a^2+bc+ab)=bc+ab+c^2+ac}\) a to jest równoważne temu
\(\displaystyle{ ab+ac+2b^2+bc-a^2=bc+ab+c^2+ac}\) a to jest równoważne temu
\(\displaystyle{ b^2-a^2=c^2-b^2}\), a to oznacza, że ciąg \(\displaystyle{ a^2,b^2,c^2}\) jest arytmetyczny, bo różnica sąsiednich wyrazów jest ta sama.
Czy tak jest dobrze?
Dodano po 3 dniach 22 godzinach 4 minutach 56 sekundach:
Czy może ktoś to potwierdzić?
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Dodano po 22 minutach 6 sekundach:
A jak tak w sumie myślę to mam pewien pomysł. Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Skoro ten pierwszy ciąg jest arytmetyczny to różnica sąsiednich wyrazów musi być ta sama czyli musi zachodzić równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{c+a}- \frac{1}{b+c}= \frac{1}{a+b}- \frac{1}{c+a} }\) co jest równoważne temu
\(\displaystyle{ (a+b)(b+c)-(a+b)(c+a)=(b+c)(c+a)-(a+b)(b+c)}\) a to jest równoważne temu
\(\displaystyle{ 2(ab+ac+b^2+bc)-(ac+a^2+bc+ab)=bc+ab+c^2+ac}\) a to jest równoważne temu
\(\displaystyle{ ab+ac+2b^2+bc-a^2=bc+ab+c^2+ac}\) a to jest równoważne temu
\(\displaystyle{ b^2-a^2=c^2-b^2}\), a to oznacza, że ciąg \(\displaystyle{ a^2,b^2,c^2}\) jest arytmetyczny, bo różnica sąsiednich wyrazów jest ta sama.
Czy tak jest dobrze?
Dodano po 3 dniach 22 godzinach 4 minutach 56 sekundach:
Czy może ktoś to potwierdzić?