Równoważność definicji.
: 29 lis 2022, o 22:42
Cześć, mam pewien problem z pokazaniem równoważności definicji. Mowa o ciągach Appella. Możemy podać dwie definicje.
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną, \(\displaystyle{ P_n(x) }\)wielomianem o współczynnikach wymiernych oraz niech \(\displaystyle{ \deg P_n(x)=n}\). Zakładamy ponadto, że \(\displaystyle{ P_0(x) }\)to stała niebędąca zerem. Ciąg \(\displaystyle{ \{P_n(x) \}_{n \ge 0}}\) nazwiemy ciągiem Appella, jeśli \begin{equation} P_n'(x)=nP_{n-1}(x) \ \ \text{dla wszystkich } n \in \mathbb{N}.\end{equation}
Możemy podać drugą definicję.
Ciąg \(\displaystyle{ \{P_n(x) \}_{n \ge 0}}\) nazwiemy ciągiem Appella , jeśli \begin{equation} A(t)e^{xt}=\sum_n^\infty \frac{P_n(x)}{n!}t^n,\end{equation}gdzie \(\displaystyle{ A(t)=\sum_n^\infty \frac{c_n}{n!}t^n,\ (c_0\neq 0)}\) to funkcja generująca.
Dowód 2 definicja --> 1 definicja jest stosunkowo prosty.
Jednakże jak pokazać, że gdy dla pewnej rodziny wielomianów zachodzi \(\displaystyle{ P_n'(x)=nP_{n-1}(x)}\) to zachodzi własnie równość z definicji drugiej?
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną, \(\displaystyle{ P_n(x) }\)wielomianem o współczynnikach wymiernych oraz niech \(\displaystyle{ \deg P_n(x)=n}\). Zakładamy ponadto, że \(\displaystyle{ P_0(x) }\)to stała niebędąca zerem. Ciąg \(\displaystyle{ \{P_n(x) \}_{n \ge 0}}\) nazwiemy ciągiem Appella, jeśli \begin{equation} P_n'(x)=nP_{n-1}(x) \ \ \text{dla wszystkich } n \in \mathbb{N}.\end{equation}
Możemy podać drugą definicję.
Ciąg \(\displaystyle{ \{P_n(x) \}_{n \ge 0}}\) nazwiemy ciągiem Appella , jeśli \begin{equation} A(t)e^{xt}=\sum_n^\infty \frac{P_n(x)}{n!}t^n,\end{equation}gdzie \(\displaystyle{ A(t)=\sum_n^\infty \frac{c_n}{n!}t^n,\ (c_0\neq 0)}\) to funkcja generująca.
Dowód 2 definicja --> 1 definicja jest stosunkowo prosty.
Jednakże jak pokazać, że gdy dla pewnej rodziny wielomianów zachodzi \(\displaystyle{ P_n'(x)=nP_{n-1}(x)}\) to zachodzi własnie równość z definicji drugiej?