Matematyka.pl

Robię jedno z zadań i natknąłem się na problem, którego nie jestem w stanie rozwiązać:

Dla danych zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) udowodnij, że \(\displaystyle{ |A| = |B|}\), znajdując bijekcję z \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ B}\) lub z \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ A}\), jeśli: \(\displaystyle{ A = \NN, B = \NN \setminus \{5, 10, 11, 12, 13\}.}\)

Znam pojęcie bijekcji, jednakże nadal nie jestem w stanie tego udowodnić.
Z góry dziękuję za pomoc.

Niech \(\displaystyle{ C=\NN \setminus \left( \PP_{ \ge 17} \cup \left\{ 5,10,11,12,13\right\}\right) }\). Czyi liczby naturalne bez liczb pierwszych większych od \(\displaystyle{ 17}\) oraz kilku liczb których niechcemy w obrazie. Funkcja dana wzorem


wygląda na bijekcję pomiędzy \(\displaystyle{ \NN}\), a \(\displaystyle{ \NN \setminus \left\{ 5,10,11,12,13\right\} }\).

Patrz rysunek. Ogólny pomysł jest taki, że zbiory \(\displaystyle{ \NN}\) oraz \(\displaystyle{ \NN \setminus \left\{ \text{kilka elementów}\right\} }\) są bardzo podobne. Więc "zwykle" \(\displaystyle{ \text{id}}\) będzie dobra jako bijekcja. Ale mamy kilka niechcianych elementów w przeciwdziedzinie (czerwone \(\displaystyle{ x}\)-sy). Więc wybrałem zbiór nieskończony którego najmniejszy element jest większy od największego niechcianego \(\displaystyle{ x}\)-sa (zielony zbiór). Więc idę sobie identycznością, aż napotkam pierwszego niechcianego gościa w przeciwdziedzinie. Wtedy zapisać przypisać mu właśnie tę niechcianą wartość przypisuję pierwszą wartość z zielonego zbioru. I kontynuuję, aż znów nie spotkam niechcianej wartości. Po pewnym skończonym czasie przypiszę ostatniej niechcianej wartości coś z zielonego zbioru unikając tym samym kłopotu, iż wartość ta miała by się znaleźć w obrazie. Jednak po pewnym czasie w dziedzinie zacznę napotykać zielone wartości którym nie będę mógł przypisać tego samego by nie popsuć injektywności. To jednak nie problem bo zbiór zielony był nieskończony więc mogę przypisać wartość najmniejszą z zielonego zbioru która nie została jeszcze wykorzystana.

Janusz Tracz, Ty to lubisz sobie życie komplikować...

Nie prościej byłoby po prostu wziąć funkcję \(\displaystyle{ f:B\to A}\) zadaną wzorem
$$f(n)= \begin{cases} n&\text{dla }n\le 4 \\ n-1 &\text{dla }6\le n\le 9\\ n-5&\text{dla }n\ge 14\end{cases} $$
?

JK

Jan Kraszewski pisze: 28 lis 2022, o 19:31 Janusz Tracz, Ty to lubisz sobie życie komplikować...

Ano lubię. Myślałem, że koniecznie w tę stronę chcemy robić bijekcję. Nawet nie przeczytałem dokładnie tematu tylko zobaczyłem słowa kluczowe: \(\displaystyle{ \left| A\right|=\left| B\right| }\), bijekcja, \(\displaystyle{ A = \NN, B = \NN \setminus \{5, 10, 11, 12, 13\}}\) i pomyślałem, że mnie wyprzędziesz w odpowiedzi jak nie napiszę nic przez następne 3 minuty lub a4karo spyta się z czym masz problem, a ja zostanę z postem który jest gotowcem i głupio teraz dodać.

PS proszę zmienisz oznaczenie zbioru \(\displaystyle{ A}\) na Twoją ulubioną literkę w mojej odpowiedzi. Bo teraz zobaczyłem, że \(\displaystyle{ A}\) to już się nazywał jedn zbiór w zadaniu i dziwnie to wygląda, a ja już nie mogę edytować.

Janusz Tracz pisze: 28 lis 2022, o 19:56PS proszę zmienisz oznaczenie zbioru \(\displaystyle{ A}\) na Twoją ulubioną literkę w mojej odpowiedzi. Bo teraz zobaczyłem, że \(\displaystyle{ A}\) to już się nazywał jedn zbiór w zadaniu i dziwnie to wygląda, a ja już nie mogę edytować.

Zmienione.

JK

Prawie bez liczeni widać, że poszukiwaną bijekcją jest `x+(1+|x-4|-|x-5|)/2+2(1+|x-8|-|x-9|)`.
Drugi składnik dodaje ekstra `1` dla `x>4`, a trzeci dodaje czwórkę dla `x>8`.

Czyli innymi słowy jest to funkcja \(\displaystyle{ f:A\to B}\) zadaną wzorem
$$f(x)= \begin{cases} x&\text{dla }x\le 4 \\ x+1 &\text{dla }5\le x\le 8\\ x+5&\text{dla }x\ge 9\end{cases} $$
i jest to funkcja odwrotna do mojej funkcji. I niech teraz Veanty sam wybierze, która wersja najbardziej do niego przemawia...

Ale bez klamerek i do tego jednym wzorkiem