Matematyka.pl

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to liczba \(\displaystyle{ 2^p + 3^p}\) nie jest potęgą żadnej liczby naturalnej.

Może tak?

Dla \(\displaystyle{ p=2}\) ta suma nie jest potęgą.
Dla nieparzystych \(\displaystyle{ p}\) suma zawsze dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), lecz przez 25 tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ p}\) jest podzielne przez 5, jednak dla \(\displaystyle{ p=5}\) suma nie jest potęgą.

kerajs pisze: ↑27 lis 2022, o 20:06 lecz przez \(\displaystyle{ 25}\) tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ p}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)

Dlaczego?

Bo reszty z dzielenia przez 25 kolejnych nieparzystych potęg liczby 2 tworzą ciąg okresowy o tym samym okresie co reszty z dzielenia przez 25 kolejnych nieparzystych potęg liczby 3. Dlatego ich suma także tworzy okresowy ciąg reszt, a z niego wynika zdanie o które pytasz.

Oczywiście, nie upieram się przy tym rozwiązaniu. Może ktoś przedstawi inne uzasadnienie, albo inny pomysł na wykazanie tezy zadania,

@kerajs
A to od razu widać, że np. \(\displaystyle{ 2^6-2^5\cdot 3+...- 2\cdot 3^5+3^6}\) sie nie dzieli przez `5`?

a4karo pisze: ↑28 lis 2022, o 21:40 A to od razu widać, że np. \(\displaystyle{ 2^6-2^5\cdot 3+...- 2\cdot 3^5+3^6}\) sie nie dzieli przez `5`?

Owszem, to widać:
\(\displaystyle{ (2^6-2^5\cdot 3+...- 2\cdot 3^5+3^6) \bmod \ 5 \equiv 7 \cdot 2^6 \bmod \ 5}\)
podobnie jak dla nieparzystych p:
\(\displaystyle{ (2^{p-1}-2^{p-2}\cdot 3+...- 2\cdot 3^{p-2}+3^{p-1}) \bmod \ 5 \equiv p \cdot 2^{p-1} \bmod \ 5 }\)
jednak nie zamierzam tego potem wyjaśniać.
Dlatego podałem prosty sposób, niewymagający żadnej wiedzy.

No właśnie zadałem to samo pytanie co Samouk1. Bo też nie widzę prostego sposobu

Ach, czyli to było pytanie, a nie wytknięcie niezastosowania szybszej metody. Sorki, nie zajarzyłem.

Pomysł na wykorzystanie liczby 5 nie wynikał z rozwinięcia:
\(\displaystyle{ 2^{2k+1}+3^{2k+1}=(2+3) \sum_{i=0}^{2k}(-1)^i2^{2k-i}3^i }\)
lecz z przystawania:
\(\displaystyle{ (2^{2k+1}+3^{2k+1}) \bmod 5 \equiv (2^{2k+1}+(-2)^{2k+1}) \bmod 5 \equiv (2^{2k+1}-2^{2k+1}) \bmod 5 \equiv 0}\)

Przystawania można użyć też tu:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i2^{2k-i}3^i ) \bmod 5 \equiv ( \sum_{i=0}^{2k}(-1)^i2^{2k-i}(-2)^i ) \bmod 5 =
(\sum_{i=0}^{2k}(-1)^{2i}2^{2k} ) \bmod 5=((2k+1)2^{2k} ) \bmod 5}\)
i od razu mieć wniosek który podałem.
Jednak, ze względu na nick autora, chciałem aby trochę policzył, i abym ja nie musiał niczego wyjaśniać.

Nb, to irytujące, że pisanie rozwiązania i wyjaśnienia zajmują mi wielokrotnie więcej czasu niż samo uzyskanie wyniku.