Całka zespolona po konturze
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 11 razy
Całka zespolona po konturze
\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{1}{(z^2-1)(z-2)} dz }\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest konturem \(\displaystyle{ x^2 + (y-1)^2 = 1}\)
Tak wygląda kontur: Obydwa punkty osobliwe (1 i 2) z niego wypadają.
\(\displaystyle{ \frac{1}{(z^2-1)(z-2)} = \frac{1}{(z-1)(z+1)(z-2)} }\)
Chyba można ją obliczyć najłatwiej za pomocą wzoru całkowego Cauchy'ego, po podzieleniu całki na dwa obszary: dk1 i dk2? To znaczy tak bym robiła, gdybym wiedziała gdzie są punkty osobliwe wewnątrz. Bo domyślam się, że tw. podstawowego Cauchy'ego tutaj nie zastosuję.
W książce Żakowskiego jest łatwiejszy przykład, w którym bierze pod uwagę jeszcze \(\displaystyle{ i}\), ale w tym konkretnym przypadku nie wiem, jak to zrobić, ani czy w ogóle idę w dobrym kierunku.
Tak wygląda kontur: Obydwa punkty osobliwe (1 i 2) z niego wypadają.
\(\displaystyle{ \frac{1}{(z^2-1)(z-2)} = \frac{1}{(z-1)(z+1)(z-2)} }\)
Chyba można ją obliczyć najłatwiej za pomocą wzoru całkowego Cauchy'ego, po podzieleniu całki na dwa obszary: dk1 i dk2? To znaczy tak bym robiła, gdybym wiedziała gdzie są punkty osobliwe wewnątrz. Bo domyślam się, że tw. podstawowego Cauchy'ego tutaj nie zastosuję.
W książce Żakowskiego jest łatwiejszy przykład, w którym bierze pod uwagę jeszcze \(\displaystyle{ i}\), ale w tym konkretnym przypadku nie wiem, jak to zrobić, ani czy w ogóle idę w dobrym kierunku.
Ostatnio zmieniony 27 lis 2022, o 13:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Teraz nie linkujemy zdjęć, tylko załączamy jako załączniki.
Powód: Teraz nie linkujemy zdjęć, tylko załączamy jako załączniki.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 11 razy
Re: Całka zespolona po konturze
Żeby obliczyć to metodą residuów, to też muszę znaleźć punkty osobliwe, a z tym mam problem w tym zadaniu
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 11 razy
Re: Całka zespolona po konturze
Tak, tak jak w poście głównym jest napisane - to są z=1 i z=2, ale one leżą poza obszarem całkowania. A jeśli dobrze rozumiem, to żeby obliczyć metodą residuów, to tak jak we wzorze całkowym Cauchy'ego, muszę mieć punkt osobliwy wewnątrz obszaru?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Całka zespolona po konturze
To źle rozumiesz///A jeśli dobrze rozumiem, to żeby obliczyć metodą residuów, to tak jak we wzorze całkowym Cauchy'ego, muszę mieć punkt osobliwy wewnątrz obszaru?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Całka zespolona po konturze
Z treści zadania wynika, że kontur \(\displaystyle{ C = |z-i| =1 }\) jest okręgiem jednostkowym o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(0, i) }\)
Funkcja podcałkowa \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{ (z+1)(z-1)(z-2)} }\) jest analityczna z wyjątkiem punktów \(\displaystyle{ \ \ z_{1}=(-1,0), \ \ z_{2}= (1, 0), z_{3}= (0,2).}\)
Kontur \(\displaystyle{ C }\) może być ściągnięty do punktów \(\displaystyle{ z_{1}, \ \ z_{2}, \ \ z_{3}. }\)
\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{1}{(z+1)(z-1)(z-2)} = \int_{\Gamma} \frac{1}{6(z+1)} - \int_{\Gamma} \frac{1}{2(z-1)} + \int_{\Gamma}\frac{1}{3(z-2)}. }\)
Na podstawie twierdzenia Cauchy:
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \frac{dz}{z-a} = \begin{cases} 0, \ \ a\in \Gamma \\ 2\pi i, \ \ a \notin \Gamma. \end{cases} }\)
Funkcja podcałkowa \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{ (z+1)(z-1)(z-2)} }\) jest analityczna z wyjątkiem punktów \(\displaystyle{ \ \ z_{1}=(-1,0), \ \ z_{2}= (1, 0), z_{3}= (0,2).}\)
Kontur \(\displaystyle{ C }\) może być ściągnięty do punktów \(\displaystyle{ z_{1}, \ \ z_{2}, \ \ z_{3}. }\)
\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{1}{(z+1)(z-1)(z-2)} = \int_{\Gamma} \frac{1}{6(z+1)} - \int_{\Gamma} \frac{1}{2(z-1)} + \int_{\Gamma}\frac{1}{3(z-2)}. }\)
Na podstawie twierdzenia Cauchy:
\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \frac{dz}{z-a} = \begin{cases} 0, \ \ a\in \Gamma \\ 2\pi i, \ \ a \notin \Gamma. \end{cases} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Całka zespolona po konturze
Przeczytaj twierdzenie. Jak we wnętrzu obszaru nie ma residuów, to zadanie staje się banalnie proste.
Dla zdrowia psychicznego nie czytaj tego co pisze janusz47.
Ostatnio zmieniony 27 lis 2022, o 18:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Całka zespolona po konturze
Jak można tego dokonać?Kontur C może być ściągnięty do punktów \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}, z_{3}}\)
Dodano po 3 minutach 13 sekundach:
A co to za krzywa \(\displaystyle{ \Gamma}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Całka zespolona po konturze
Przyjmuje się, że kontur \(\displaystyle{ \Gamma }\) jest to kontur skierowany dodatnio (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) nie zawierający biegunów funkcji podcałkowej.
\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{1}{(z+1)(z-1)(z-2)} = \int_{C} \frac{1}{6(z+1)} - \int_{C} \frac{1}{2(z-1)} + \int_{C}\frac{1}{3(z-2)}= \frac{1}{6}2\pi i-\frac{1}{2}2\pi i + \frac{1}{3}2\pi i = 0.}\)
Obliczając każdą z całek po konturze \(\displaystyle{ \Gamma = C }\) otrzymujemy kolejno:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \int_{C}\frac{1}{z+1} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{i +e^{it} +1} dt }\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ i+e^{it} +1 = u, }\)
\(\displaystyle{ i e^{it} = du, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \int_{i+2}^{i+2} \frac{du}{u} = 0. }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{C}\frac{1}{z+1} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{i +e^{it} -1} dt }\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ I+e^{it} -1 = v, }\)
\(\displaystyle{ i e^{it} = dv, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{i}^{i} \frac{dv}{v} = 0. }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int_{C}\frac{1}{z-2} = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{i +e^{it} -2} dt }\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ i+e^{it} -2 = s, }\)
\(\displaystyle{ i e^{it} = ds, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int_{i-1}^{i-1} \frac{ds}{s} = 0. }\)
\(\displaystyle{ \int_{C} \frac{1}{(z+1)(z-1)(z-2)} = \int_{C} \frac{1}{6(z+1)} - \int_{C} \frac{1}{2(z-1)} + \int_{C}\frac{1}{3(z-2)}= \frac{1}{6}2\pi i-\frac{1}{2}2\pi i + \frac{1}{3}2\pi i = 0.}\)
Obliczając każdą z całek po konturze \(\displaystyle{ \Gamma = C }\) otrzymujemy kolejno:
\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \int_{C}\frac{1}{z+1} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{i +e^{it} +1} dt }\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ i+e^{it} +1 = u, }\)
\(\displaystyle{ i e^{it} = du, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \int_{i+2}^{i+2} \frac{du}{u} = 0. }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{C}\frac{1}{z+1} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{i +e^{it} -1} dt }\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ I+e^{it} -1 = v, }\)
\(\displaystyle{ i e^{it} = dv, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{i}^{i} \frac{dv}{v} = 0. }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int_{C}\frac{1}{z-2} = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{i +e^{it} -2} dt }\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ i+e^{it} -2 = s, }\)
\(\displaystyle{ i e^{it} = ds, }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int_{i-1}^{i-1} \frac{ds}{s} = 0. }\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Całka zespolona po konturze
Masz na myśli sumę pustą? W twierdzeniu o residuach suma przebiega indeksy punktów osobliwych wewnątrz krzywej tu takowych nie ma. Więc z twierdzenia o residuach
\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{1}{(z^2-1)(z-2)} \, \dd z = 2\pi i\sum _{k\in \varnothing } \operatorname {Res} \Big( \frac{1}{(z^2-1)(z-2)} ,k-\text{ty punkt osobliwy wewnątrz }C \Big) =0. }\)
Moim zdaniem w tym zadaniu trzeba jedynie stwierdzić, że założenia twierdzenia Cauchy’ego są spełnione (to co proponuje Dasio11). I nie mówię tu nawet o wzorze Cauchy’ego tylko o twierdzeniu podstawowym, gdzie mamy całkę z funkcji holomorficznej po krzywej zamkniętej.
@janusz47 zwykle trzymam język za zębami i się powstrzymuje się przed komentarzami. Tyma razem jednak zrobię wyjątek ponieważ uważam, że to co napisałeś w istotny sposób (niestety negatywny) oddziałuje na osoby uczące się tego tematu. Widać, że masz jakieś pojęcie o całkach zespolonych ale pisanie czegoś takiego:
jest po prostu wprowadzaniem w błąd. Propozycja rozkładu na ułamki proste też jest raczej dziwna. Twierdzenie Cauchy’ego można stosować bez tego rozkładu.\(\displaystyle{ \int_{\Gamma} \frac{dz}{z-a} = \begin{cases} 0, \ \ a\in \Gamma \\ 2\pi i, \ \ a \notin \Gamma. \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 20 lis 2022, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 11 razy
Re: Całka zespolona po konturze
To było zadanie z egzaminu, więc - może niesłusznie założyłam, że zadanie w którym można zastosować tw. podstawowe i nic nie liczyć, byłoby zbyt proste na egzamin.
Trochę wątpliwości wprowadził też przykład z książki, gdzie jest funkcja:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z^2+1} }\)
I ona na pierwszy rzut niedoświadczonego oka wygląda na funkcję bez biegunów, ale autor zapisuje ją jako: \(\displaystyle{ \frac{1}{(z-i)(z+i)} }\) i okazuje się że są osobliwości w \(\displaystyle{ i }\) oraz \(\displaystyle{ -i}\).
Ponawiam więc pytanie z głównego posta: jak znaleźć wszystkie bieguny tego typu funkcji zespolonej?
Czy taki schemat postępowania jest poprawny:
1. Zapisuję funkcję w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ z^3 - 2z^2 - z + 2}\)
2. Wielomian jest stopnia 3, więc jeśli znalazłam już 3 pierwiastki: \(\displaystyle{ z_{0} =1}\), \(\displaystyle{ z_{0}=-1}\) i \(\displaystyle{ z_{0}=2}\), to mam już pewność, że to wszystkie bieguny
3. Jeśli nie, to stosuję algorytmy pierwiastkowe dla wielomianu 3 stopnia - algorytm Ferro? https://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/alg/scb/index26.html
Trochę wątpliwości wprowadził też przykład z książki, gdzie jest funkcja:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z^2+1} }\)
I ona na pierwszy rzut niedoświadczonego oka wygląda na funkcję bez biegunów, ale autor zapisuje ją jako: \(\displaystyle{ \frac{1}{(z-i)(z+i)} }\) i okazuje się że są osobliwości w \(\displaystyle{ i }\) oraz \(\displaystyle{ -i}\).
Ponawiam więc pytanie z głównego posta: jak znaleźć wszystkie bieguny tego typu funkcji zespolonej?
Czy taki schemat postępowania jest poprawny:
1. Zapisuję funkcję w postaci ogólnej: \(\displaystyle{ z^3 - 2z^2 - z + 2}\)
2. Wielomian jest stopnia 3, więc jeśli znalazłam już 3 pierwiastki: \(\displaystyle{ z_{0} =1}\), \(\displaystyle{ z_{0}=-1}\) i \(\displaystyle{ z_{0}=2}\), to mam już pewność, że to wszystkie bieguny
3. Jeśli nie, to stosuję algorytmy pierwiastkowe dla wielomianu 3 stopnia - algorytm Ferro? https://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/alg/scb/index26.html