Dwa zadanka z de Moivre'a

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
toonczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 22 paź 2007, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Dwa zadanka z de Moivre'a

Post autor: toonczyk » 22 paź 2007, o 16:54

Zadanie 1.
\(\displaystyle{ (\sqrt{2} + i)^{50}}\)
Wychodzi mi, ze \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{3}}\) a więc:
\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}}}\)
I nie bardzo wiem co z tym dalej zrobić.


Zadanie 2.
\(\displaystyle{ (\cos \frac{\pi}{5} - i \sin \frac{\pi}{5})^{16}}\)
Tym razem ta ujemna wartość części urojonej mnie zastanawia. Czy tu coś powinienem z liczbą sprzężoną?

dzięki za pomoc.

Jopekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 9 maja 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edynburg
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 15 razy

Dwa zadanka z de Moivre'a

Post autor: Jopekk » 22 paź 2007, o 17:49

W drugim trzeba skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \cos\alpha=\cos-\alpha}\) a \(\displaystyle{ \sin\alpha=-\sin-\alpha}\) jak tak zamienisz do ta z demoivra pocisnac, moze rozpisze zaraz...

toonczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 22 paź 2007, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Dwa zadanka z de Moivre'a

Post autor: toonczyk » 22 paź 2007, o 21:23

Hm, czyli jak rozumiem...
\(\displaystyle{ (\cos-\frac{\pi}{5}+i\sin-\frac{\pi}{5})^{16} =}\)
\(\displaystyle{ = \cos-\frac{16*\pi}{5}+i\sin-\frac{16*\pi}{5} =}\)
\(\displaystyle{ = \cos\frac{4}{5}\pi+i\sin\frac{4}{5}\pi}\)
Zgadza sie? I tak to trzeba, zostawic, prawda?

A w pierwszym zadaniu?

Jopekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 9 maja 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edynburg
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 15 razy

Dwa zadanka z de Moivre'a

Post autor: Jopekk » 22 paź 2007, o 21:29

Drugie tak. Pierwsze to moze -> http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone

toonczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 22 paź 2007, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Dwa zadanka z de Moivre'a

Post autor: toonczyk » 22 paź 2007, o 21:41

To znaczy... ?
Wydaje mi sie, ze wszystkie twierdzenia i wzory sa mi mniej wiecej znane, tylko mam zaleglosci w dziedzinie rownan trygonometrycznych Nie umiem z
\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}}}\)
wyprowadzic wartosci argumentu...

Jopekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 9 maja 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edynburg
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 15 razy

Dwa zadanka z de Moivre'a

Post autor: Jopekk » 22 paź 2007, o 21:50

To wyglada tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{3}^{50} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+i\frac{1}{\sqrt{3}})^{50}=\sqrt{3}^{50}(\cos(\arctan(\frac{\sqrt{2}}{2})+i\sin(\arctan\frac{\sqrt{2}}{2}))^{50}}\)

toonczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 22 paź 2007, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Dwa zadanka z de Moivre'a

Post autor: toonczyk » 22 paź 2007, o 21:54

Wydawało mi się, że według wzoru mnożymy argument przez 50, dlatego nie można podstawić po prostu wartości sinusa i cosinusa, bo to przecież wartość dla arg, a nie 50*arg...

Jopekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 9 maja 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edynburg
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 15 razy

Dwa zadanka z de Moivre'a

Post autor: Jopekk » 22 paź 2007, o 21:56

no to bedziesz mial

\(\displaystyle{ \sqrt{3}^{50} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+i\frac{1}{\sqrt{3}})^{50}= \sqrt{3}^{50}(\cos(\arctan(\frac{\sqrt{2}}{2})+i\sin(\arctan\frac{\sqrt{2}}{2}))^{50} =\sqrt{3}^{50}(\cos(50\arctan(\frac{\sqrt{2}}{2})+i\sin(50\arctan\frac{\sqrt{2}}{2}))}\)

toonczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 22 paź 2007, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Dwa zadanka z de Moivre'a

Post autor: toonczyk » 22 paź 2007, o 22:03

Bez sensu to zadanie, jak na moj gust zadania powinny miec rozwiazania w stylu "10"

Dziekuje.

ODPOWIEDZ