Matematyka.pl

Sprawdzić, że dany zbiór \(\displaystyle{ M}\) macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy. Wykazać, że grupa ta jest izomorficzna z grupą \(\displaystyle{ \displaystyle\mathbb{Z}}\).

a) \(\displaystyle{ M=\left\{ \left[\begin{array}{ccc}
1+a&-a\\
a&1-a
\end{array}\right] :a \in \displaystyle \mathbb{Z}\right\}}\)

b) \(\displaystyle{ M=\left\{ \left[\begin{array}{ccc}
1-2a&4a\\
-a&1+2a
\end{array}\right] :a \in \displaystyle \mathbb{Z}\right\}}\)

Proszę o dokładne wytłumaczenie co trzeba w tym zadaniu zrobić

Ponieważ wiemy, że wszystkie macierze \(\displaystyle{ 2\times 2}\) tworzą grupę względem mnożenia, więc wystarczy sprawdzić, że zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest zamknięty na działania, czyli że iloczyn dwóch macierzy z \(\displaystyle{ M}\) należy do \(\displaystyle{ M}\) oraz że macierz odwrotna do macierzy z \(\displaystyle{ M}\) także należy do \(\displaystyle{ M}\). A izomorfizm należy napisać wzorem i sprawdzić, że jest izomorfizmem.

JK