Matematyka.pl

Nie oczekuje pełnego rozwiązania, wystarczy wskazówka, albo opis najważniejszych kroków.
Polecenie jak w tytule, znaleźć całkę z danej formy po powierzchni/strumień pola wektorowego przez powierzchnie
postać pola:
\(\displaystyle{ V=( x^{3} - z^{3} ) \frac{ \partial }{ \partial x} +( z^{3} + y^{3} ) \frac{ \partial }{ \partial y} +( xz^{2}) \frac{ \partial }{ \partial z} }\)
Powierzchnia:
\(\displaystyle{ D={(u\cos(t),u\sin(t),u\cos(t)): t \in [0,2 \pi], u \in [0,1]}}\)

Strumień wektora pola przez powierzchnię

\(\displaystyle{ \Phi(S) = \iint_{(S)} \vec{V} d\vec{S} = \iint_{(D)} \vec{V}(\vec{r}(u,v)) \cdot \vec{n}(u,v) |\vec{t}_{u}\times \vec{t}_{v}| du dv \ \ (1)}\)

Wektor \(\displaystyle{ \vec{n}(u,v) }\) jest jednostkowym wektorem prostopadłym do powierzchni w jej punkcie określonym wartościami parametrów \(\displaystyle{ u, v .}\)

Wektor normalny \(\displaystyle{ \vec{n}(u,v) }\) możemy otrzymać jako iloczyn wektorowy wektorów stycznych związanych z obydwoma parametrami.

\(\displaystyle{ \vec{t}_{u} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}, \ \ \vec{t}_{v} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}, }\) w formie

\(\displaystyle{ \vec{n}= \frac{\vec{t}_{u}\times \vec{t}_{v}}{|\vec{t}_{u}\times \vec{t}_{v}|} \ \ (2)}\)

Dzięki obecności mianownika, wektor ten unormowany jest do jedynki.

Wstawiając \(\displaystyle{ (2) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\) otrzymujemy wzór:

\(\displaystyle{ \Phi(S) = \iint_{(S)} \vec{V} d\vec{S} = \iint_{(D)} \vec{V}(\vec{r}(u,v)) \cdot(\vec{t}_{u}\times \vec{t}_{v}) du dv \ \ (3)}\)

\(\displaystyle{ x(t,u) = u\cos(t), \ \ y(t,u) = u\sin(t), \ \ z(t,u) = u\cos(t).}\)

Wektory styczne do powierzchni \(\displaystyle{ D }\)

\(\displaystyle{ \vec{t}_{u} = [\cos(t), \ \ \sin(t), \ \ \cos(t)], \ \ \vec{t}_{v} = [-u\sin(t), \ \ u\cos(t), \ \ -u\sin(t)].}\)

Iloczyn wektorowy wektorów stycznych:

\(\displaystyle{ \vec{t}_{u} \times \vec{t}_{v} = \ \ ... = -u\vec{e}_{x} + 0\vec{e}_{y} + u\vec{e}_{z}.}\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (3) }\)

\(\displaystyle{ \Phi(S) =\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} [(u^3\cos^3(t)- u^3\cos^3(t))\vec{e}_{x} +(u^3\cos^3(t)+u^3\sin^3(t))\vec{e}_{y} + (u\cos(t)\cdot u^2\cos^2(t))\vec{e}_{z}] \cdot ( -u\vec{e}_{x} + 0\vec{e}_{y} +u\vec{e}_{z}) du dt = \ \ ... }\)