Matematyka.pl

Cześć,

przygotowuje się do kolokwium i rozwiązując listy od dr. prowadzącej zajęcia natrafiłem na 2 przykłady, które nie mam pojęcia jak ugryźć. Pierwsze polecenie każde zbadać zbieżność szeregu używając kryterium porównawczego lub ilorazowego Niezależnie od której strony próbuje podejść zawsze wychodzi mi w granicy strona niejednoznaczna.
Podobny problem mam w szeregu nr2 który mam rozwiązać kryterium Cauchy'ego ale tam z kolei wychodzi mi 1 więc nie rozstrzyga zbieżności a dalej nie mam pojęcia jak to ruszyć: Będę wdzięczny za wytłumaczenie jak ruszyć te przykłady.

Aż tak żle, że nie chciało Ci się przepisać tych przykładów? Przecież zrobienie zdjęć i ich hostowanie zajmuje więcej czasu niż zapisanie w Latexu

Pokaż swoje próby rozwiązania. W drugim sprawdź najpierw, czy spełniony jest warunek konieczny

w pierwszym szeregu staram się udowodnić rozbieżność, a znajduje szereg większy od przykładu który po przekształceniach na szereg harmoniczny * stała wychodzi mi zbieżny,

co do drugiego przykładu granica wyszła mi różna od 0 więc nie jest zbieżny, ale czy to jest wystarczające jako uzasadnienie że jest rozbieżny?

JAk nie jest zbieżny, to jaki jeszcze może być?
W pierwszym: gdybyś miał porównać wyrazy tego ciągu z wyrażeniem postaci `n^a` to na jakie `a` byś stawiał?

do \(\displaystyle{ -\frac12}\)? bo \(\displaystyle{ \frac{n^1}{n^{\frac32}}}\) czyli \(\displaystyle{ n^1 \cdot n^{-\frac32}}\)

Używaj `\LaTeX a`, bo powędrujesz do kosza.
Tak to dobry kandydat. Zastosuj ilorazowe kryterium porównawcze

to w takim razie wyszło mi ze granica ilorazu szeregu \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} } }\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\) więc zawiera się w obszarze działania kryterium ilorazowego a \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} } }\) jest też szeregiem harmonicznym o \(\displaystyle{ p=\frac12}\) więc jest zbieżny co dowodzi zbieżności \(\displaystyle{ a_n}\). Zgadza się czy machnąłem się w obliczeniach?

Nie granica ilorazu szeregów, tylko granica ilorazów wyrazów szeregów. Niby podobne, ale jednak nie.

Nie machnąłęś się w obliczeniach, ale sie nie zgadza. Kiedy szereg postaci `sum 1/n^p` jest zbieżny?

a, racja P>1 źle spojrzałem, więc rozbieżny,
dzięki wielkie za naprowadzenie mnie jak to podejść, rozwiązałem 3 listy od prowadzącej a te 2 przykłady nie mogłem wymyślić jak potraktować, teraz będzie komplet jeszcze raz dziękuje!

NB szacowanie z dołu przez szereg zbieżny, podobne jak szacowanie z góry przez szereg rozbieżny nie wnosi nic nowego

niekoniecznie bo miałem zbadać zbieżność więc dzięki wykorzystaniu ilorazowego gdzie zbieżność jest wtedy i TYLKO wtedy gdy szereg b jest zbieżny (z definicji) więc szereg a tez musi być rozbieżny

Koniecznie. W kryterium ilorazowym nie szacujesz, tylko liczysz granicę, a to co innego.

Zauważ, że każdy szereg o wyrazach dodatnich (zbieżny lub nie) szacuje się z dołu przez szereg zbieżny o wyrazach zerowych

Odnosiłem się tu do Twojej kartki z rachunkami