Matematyka.pl

Mam duży problem z takim zadaniem:

Dla jakich \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\) istnieje takie \(\displaystyle{ L >0}\), że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left| x_{1}^{a} - x_{2}^{a} \right| \leq L \cdot \left|x_{1} - x_{2} \right|}\) dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} > 0.}\)

Nie mieliśmy jeszcze pochodnych, więc nie mogę Ich użyć do rozwiązania tego zadania. Zakładam, że istnieje takie \(\displaystyle{ L}\) dla \(\displaystyle{ a \in [0, 1]}\), ale nie mogę jakoś dowieść, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ L}\) dla \(\displaystyle{ a}\) spoza tego przedziału, jeśli ktoś ma jakiś pomysł, to z chęcią go usłyszę.

Badaj, gdzie te funkcje mają bardzo stroma sieczne lub styczne, np dla:

\(\displaystyle{ a= \frac{1}{2} }\) stromizna jest w przedziale:

\(\displaystyle{ \left(0;c \right] }\)

\(\displaystyle{ a= 2 }\) stromizna jest w przedziale:

\(\displaystyle{ \left[c; \infty \right) }\)

Właśnie, jeśli a=0.5 to czy wtedy istnieje takie L? Jest bardzo stroma na początku, lecz później się normuje, nie wiem jak to zinterpretować

To, że funkcja jest na kawałku dziedziny lipschitzowska nie oznacz, że jest taka wszędzie.
Czy istnieje taka stała `L`, że `\sqrt{x}-\sqrt{0}<L(x-0)` dla wszystkich dodatnich `x`?