Matematyka.pl

Naszkicować w układzie współrzędnych zbiór par punktów \(\displaystyle{ (x, y)}\), których współrzędne spełniają równanie \(\displaystyle{ ||x| − 1| + ||y| − 1| = 1}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

A jaki masz z tym problem?

JK

No bo chcę to jakoś tak zrobić, żeby z tymi przypadkami się nie pogubić.

To rozważaj przypadki systematycznie...

JK

A można to jakoś skrócić przez symetrię? Bo widzę, że to będzie \(\displaystyle{ 16}\) przypadków do rozpatrzenia, każdy na \(\displaystyle{ 5}\) linijek. Nie wiem czy nie wystarczy rozważyć tego w jednej ćwiartce układu współrzędnych, a resztę przez symetrię zrobić, ale nie wiem czy tak można. Możesz mi to wyjaśnić?

max123321 pisze: 25 lis 2022, o 23:36a resztę przez symetrię zrobić, ale nie wiem czy tak można.

A co Ci przeszkadza sprawdzić? Skoro wiesz, że para liczb nieujemnych \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełnia to równanie, to sprawdź, czy wtedy spełniają je pary \(\displaystyle{ (x,-y), (-x,y), (-x,-y).}\)

JK

Aha no ok, to zmniejsza liczbę przypadków. No dobra to można rozważyć przypadki tylko w pierwszej ćwiartce:
\(\displaystyle{ 0 \le x<1,0 \le y<1}\)
\(\displaystyle{ |x-1|+|y-1|=1}\)
\(\displaystyle{ -x+1-y+1=1}\)
\(\displaystyle{ y=1-x}\)
\(\displaystyle{ 1 \le x,0 \le y<1}\)
\(\displaystyle{ |x-1|+|y-1|=1}\)
\(\displaystyle{ x-1-y+1=1}\)
\(\displaystyle{ y=x-1}\)
\(\displaystyle{ 0 \le x<1,1 \le y}\)
\(\displaystyle{ |x-1|+|y-1|=1}\)
\(\displaystyle{ -x+1+y-1=1}\)
\(\displaystyle{ y=x+1}\)
\(\displaystyle{ 1 \le x,1 \le y}\)
\(\displaystyle{ |x-1|+|y-1|=1}\)
\(\displaystyle{ x-1+y-1=1}\)
\(\displaystyle{ y=3-x}\)
Czyli jak to się narysuje, to to jest taki kwadrat w pierwszej ćwiartce postawiony na kancie, że tak powiem. No i teraz z tego, że jak dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y)}\) należy do rozwiązań to również punkty \(\displaystyle{ (-x,y),(x,-y),(-x,-y)}\) też należą do rozwiązań, więc mamy symetrię względem osi OX i OY, więc rozwiązaniem będą cztery kwadraty postawione na kancie, wokół środka układu współrzędnych, każdy jeden w jednej ćwiartce. Czy tak jest dobrze?

No tak wolfram pokazuje to samo, czyli takie rozwiązanie jak napisałem jest dobrze, zgadza się?

No tak...

JK