Matematyka.pl

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b, c}\) spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ |a + b − c| + |b + c − a| + |c + a − b| \ge |a| + |b| + |c|.}\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

A wiesz o tym, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\) masz \(\displaystyle{ |x|+|y|\ge|x+y|}\) ? Bo tylko tego potrzebujesz.

JK

Ok, ale szczerze mówiąc nie wiem jak tego użyć. Zakładając, że \(\displaystyle{ |x|+|y|+|z| \ge |x+y+z|}\) to otrzymam, że \(\displaystyle{ |a + b − c| + |b + c − a| + |c + a − b| \ge |a+b+c|}\), a to nie o to chodzi. Jak zatem tego użyć o czym piszesz?

Chociaż jak tak teraz myślę, to można chyba zrobić tak:
Jakbyśmy tą tezę napisali tak:
\(\displaystyle{ 2|a + b − c| + 2|b + c − a| + 2|c + a − b| \ge 2|a|+2|b|+2|c|}\) to można by napisać tak:
\(\displaystyle{ |a+b-c|+|c+a-b| \ge 2|a|}\)
\(\displaystyle{ |b+c-a|+|a+b-c| \ge 2|b|}\)
\(\displaystyle{ |b+c-a|+|c+a-b| \ge 2|c|}\)
i jak zsumujemy stronami te nierówności to otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2|a + b − c| + 2|b + c − a| + 2|c + a − b| \ge 2|a|+2|b|+2|c|}\) i po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ |a + b − c| + |b + c − a| + |c + a − b| \ge |a|+|b|+|c|}\)
czyli tezę. Czy tak jest dobrze?

Tak.

JK

No ok, a jak udowodnić tą nierówność \(\displaystyle{ |x|+|y|\ge|x+y|}\)? Trzeba przypadki rozważać?

Na przykład. Albo skorzystać z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej.

JK

A można do kwadratu podnieść i tak zrobić?
\(\displaystyle{ |x+y| \le |x|+|y|}\)
\(\displaystyle{ x^2+2xy+y^2 \le x^2+2|xy|+y^2}\)
\(\displaystyle{ xy \le |xy|}\)
,a to jest prawda z definicji wartości bezwzględnej.

Czy tak jest dobrze?

Dobrze, choć bardziej elegancko byłoby wyjść od ostatniej nierówności, pododawać do obu stron co nieco, zwinąć i wyciągnąć pierwiastek na końcu

No, ok, ale to jest tylko kwestia estetyki, bo ogólnie jest chyba ok.

Niezupełnie - przy takim dowodzie powinieneś podkreślić równoważność wszystkich przejść. Przy dowodzie a4karo - nie, bo tam normalnie wnioskujesz, a teza jest na końcu.

JK